Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 10.05.2001

Prof. Dr. S. Walcher Dipl.-Math. Bernd Ohligs

4. Übung zur Vorlesung Topologie

(Abgabe: Freitag, 17.05.2001, bis 11.45 Uhr im Übungskasten)

Aufgabe 1: Betrachten Sie den Raum (ℝ,T_{cof}).

a) Ist in diesem Raum das erste oder zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt?

Hinweis: Siehe Beispiel (2.16) im Skript!

b) Gibt es eine Pseudometrik d auf ℝ derart, dass T_{d} = T_{cof} gilt? (Antwort mit Beweis!)

Aufgabe 2*: Sei Z eine nichtleere Menge und X := Z^{ℕ} = {(z_{i})_{i∈ℕ} : z_{i} ∈ Z ∀i ∈ ℕ} die Menge aller Folgen in Z. Für z = (z_{i})_{i∈ℕ},w = (w_{i})_{i∈ℕ} ∈ X setze dann

d(z,w) := \{ \begin{matrix}0 & falls z = w, \\ 2^{−j} ,j:= min\{i ∈ ℕ: z_{i} ≠ w_{i}\} & falls z ≠ w. \end{matrix}

Zeigen Sie: d ist eine Metrik auf X, welche sogar die ultrametrische Ungleichung erfüllt.

Aufgabe 3: Sei (X,d) ein metrischer Raum. Zeigen Sie:

a) Durch d′:= \frac{d}{1 + d} wird auf X eine Metrik definiert.

b) d und d′induzieren dieselbe Topologie, d.h. es gilt T_{d} = T_{d′}.

c) d und d′sind genau dann äquivalent, wenn d beschränkt ist.

Aufgabe 4:

a) Sei X eine nichtleere Menge und ϱ eine Abbildung von X × X in ℝ. Setze für x ∈

X, ε > 0

S(x,ε) := {y ∈ X : ϱ(y,x) < ε} .

Zeigen Sie:

T_{ϱ} := {G ⊂ X : ∀x ∈ G ∃ε > 0 mit S(x,ε) ⊂ G}

ist eine Topologie für X.

b) Sei nun speziell X = ℝ. Untersuchen Sie für die Abbildungen

ϱ_{1}(x,y) := x − y, ϱ_{2}(x,y) := xy (x,y ∈ ℝ)

die folgenden Fragen:

(i) Für welche x ∈ ℝ und ε > 0 gilt x ∈ S(x,ε)?

(ii) Für welche x ∈ ℝ und ε > 0 ist S(x,ε) offen in der in a) beschriebenen Topologie? (iii) Ist das System {S(x,ε);x ∈ ℝ,ε > 0} eine Subbasis (Basis) dieser Topologie?