Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 03.05.2001

Prof. Dr. S. Walcher Dipl.-Math. Bernd Ohligs

3. Übung zur Vorlesung Topologie

(Abgabe: Freitag, 10.05.2001, bis 11.45 Uhr im Übungskasten)

Aufgabe 1: Bestimmen Sie alle Häufungs- und Randpunkte der Menge A:= \{\frac{1}{n} : n ∈ ℕ\} ⊂ ℝ, wenn ℝ mit der natürlichen, diskreten, indiskreten bzw. coabzählbaren Topologie versehen ist.

Aufgabe 2*: a) Für n ∈ ℕ betrachten wir das Paar (ℝ^{n},d) mit

d(x,y) := |x_{1}− y_{1}| (x = (x_{1},...,x_{n}),y = (y_{1},...,y_{n}) ∈ ℝ^{n}).

Zeigen Sie, dass (ℝ^{n},d) ein pseudometrischer Raum ist. Wann ist d eine Metrik?

b) Sei C[0,1] der Raum aller stetigen, reellwertigen Funktionen auf [0,1] und

(i) ∥f∥_{1} := max_{x∈[0,1]}|f(x)| (f ∈ C[0,1]),

(ii) ∥f∥_{2} := ∫_{0}^{1}|f(x)|dx (f ∈ C[0,1]).

Zeigen Sie, dass hierdurch zwei Normen auf C[0,1] definiert sind und geben Sie die induzierten Metriken auf C[0,1] an.

c) Für i ∈ {1,2} bezeichne d_{i} die von der Norm ∥ ∘ ∥_{i}, aus Teil b) induzierte Metrik auf C[0,1]. Zeigen Sie:

f ∈ K_{r}^{d_{1}}(0) ⟹ f ∈ K_{r}^{d_{2}}(0) (f ∈ C[0,1]).

d) Sei f_{n} ∈ C[0,1],n ∈ ℕ, definiert durch

f_{n}(x) := \{ \begin{matrix}2n^{2}x , & 0 ≤ x < \frac{1}{2n} \\ −2n^{2}(x − \frac{1}{n}) , & \frac{1}{2n} ≤ x < \frac{1}{n} \\ 0 , & \frac{1}{n} ≤ x ≤ 1 \end{matrix} (n ∈ ℕ).

Skizzieren Sie f_{n} und zeigen Sie:

(i) f_{n} ∈ K_{1}^{d_{2}}(0),f_{n} ∉ K_{1}^{d_{1}}(0) (n ∈ ℕ),

(ii) lim_{n→∞} d_{1}(f_{n},0) = lim_{n→∞} ∥f_{n}∥_{1} = +∞,

(iii) ∥ ∘ ∥_{1} und ∥ ∘ ∥_{2} sind nicht äquivalent.

Hinweis: Benutzen Sie bekannte Ergebnisse der Analysis.

Aufgabe 3:

a) Sei \underline{X} = (X,T ) ein topologischer Raum und B eine Basis von T . U ∈ B habe die Eigenschaft (∗) Zu jedem x ∈ U existiert ein V ∈ B mit x ∈ V ⊂ U,V ≠ U. Zeigen Sie: B \ {U} ist eine Basis von T .

b) Sei \underline{X}= (X,T ) ein topologischer Raum derart, dass für jede Basis B und jedes U ∈ B die Eigenschaft (∗) gilt. Zeigen Sie, dass \underline{X} keine Basis besitzt, die (bezüglich der Inklusion) minimal ist.

c) Zeigen Sie: (ℝ,T_{nat}) besitzt keine minimale Basis.

d) Sei X eine Menge und T eine Partitionstopologie auf X. Zeigen Sie, dass (X,T ) eine minimale Basis besitzt.

Aufgabe 4: Seien T_{1} und T_{2} Topologien auf X ≠ ∅ mit Basen B_{1} und B_{2}.

a) Zeigen Sie, dass aus der Bedingung (∗) Zu jedem B_{2} ∈ B_{2} existiert ein B_{1} ∈ B_{1} mit B_{1} ⊂ B_{2}. i.a. nicht auf T_{2} ⊂ T_{1} geschlossen werden kann. Hinweis: Betrachten Sie zwei Topologien mit drei Elementen.

b) Wie muss die Bedingung (∗) verschärft werden, um auf T_{2} ⊂ T_{1} schließen zu können?