Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 26.04.2001

Prof. Dr. S. Walcher Dipl.-Math. Bernd Ohligs

2. Übung zur Vorlesung Topologie

(Abgabe: Freitag, 03.05.2001, bis 11.45 Uhr im Übungskasten)

Aufgabe 1: (Ordnungstopologie) Sei X sei eine nicht-leere Menge und ≺ eine binäre Relation auf X, so dass

(i) Für alle x ∈ X gilt: x ⊀ x.

(ii) Für alle x,y ∈ X mit x ≠ y gilt entweder x ≺ y oder y ≺ x.

(iii) Für alle x,y,z ∈ X gilt: Aus x ≺ y und y ≺ z folgt stets auch x ≺ z.

Für a,b ∈ X sei dann ]a,b[:= {x ∈ X;a ≺ x ≺ b} ⊂ X das offene Intervall mit linkem Endpunkt a und rechtem Endpunkt b in (X,≺). Eine Menge U ⊂ X heiße nun offen, falls es zu jedem u ∈ U ein offenes Intervall ]a,b[⊂ X gibt mit u ∈]a,b[⊂ U. Zeigen Sie:

a) ∅ ist offen.

b) (i) Ist U_{i} ⊂ X offen für alle i ∈ I ≠ ∅, so ist auch ⋃ _{i∈I} U_{i} offen.

(ii) Sind U_{1},U_{2} ⊂ X offen, dann auch U_{1}∩ U_{2}.

c) Sei speziell X := {1,2,...,n} für ein n ≥ 2 und ≺ die natürliche Ordnung auf X. Bildet das System der oben definierten offenen Mengen dann eine Topologie auf X?

d) Falls die Relation ≺ zusätzlich die Eigenschaft besitzt, dass es zu jedem x ∈ X Elemente y,z ∈ X gibt mit x ≺ y und z ≺ x, so bildet das System der offenen Mengen eine Topologie für X.

Aufgabe 2: Sei X eine Menge. Eine Teilmenge P ≠ ∅ der Potenzmenge P (X) heißt eine Partition von X, wenn je zwei Elemente von P disjunkt sind und ∪_{P∈P}P = X gilt.

a) Sei P eine Partition von X. Zeigen Sie, dass P die Basis einer Topologie T_{P} auf X ist. Diese Topologie heißt Partitionstopologie (zur Partition P). Welche Partitionen muss man betrachten, um die diskrete bzw. indiskrete Topologie auf X zu erhalten?

b) Sei T eine Topologie auf X. Zeigen Sie die Äquivalenz der beiden folgenden Aussagen:

(i) T stimmt mit der Menge der abgeschlossenen Teilmengen von X überein.

(ii) Es gibt eine Partition P von X mit T = T_{P}.

Aufgabe 3*: Im ℝ^{2} definiert man die obere Halbebene durch

H := {(x,y) ∈ ℝ^{2} ; y ≥ 0}.

Für r > 0 und (x_{0},y_{0}) ∈ ℝ^{2} ist

K_{r}(x_{0},y_{0}) := {(x,y) ∈ ℝ^{2} ; (x − x_{0})^{2}+ (y − y_{0})^{2} < r^{2}}

die offene Kreisscheibe mit Mittelpunkt (x_{0},y_{0}) und Radius r.

a) Zeigen Sie, dass

B := {K_{r}(x,y) ; (x,y) ∈ H,0 < r ≤ y} ∪ {K_{r}(x,r) ∪ {(x,0)}; x ∈ ℝ,r > 0} Basis einer Topologie T auf H ist.

b) Skizzieren Sie einige offene Mengen in dieser Topologie.

c) Zeigen Sie, dass (H,T ) das erste, nicht aber das zweite, Abzählbarkeitsaxiom erfüllt.

Aufgabe 4: Sei (X,T ) ein topologischer Raum. Für A ⊂ X sei α(A) :=\overline{A}^{∘}. Zeigen Sie: a) Aus A ⊂ B ⊂ X folgt α(A) ⊂ α(B) = α(α(B)).

b) Ist G offen und A dicht in X, so gilt \overline{A ∩ G}= \overline{G}.

c) Ist G offen, so ist G genau dann dicht in X, wenn α(C_{X}G) = ∅.