Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 12.07.2002

Prof. Dr. S. Walcher Dipl.-Math. Bernd Ohligs

12. Übung zur Vorlesung Topologie

(Abgabe: Dienstag, 16.07.2002, bis 11.45 Uhr im Übungskasten)

Aufgabe 1: Seien \underline{X} ein topologischer Raum und \underline{ℝ} = (ℝ,T_{nat}).

a) \underline{X}habe die Eigenschaft: Zu je zwei Punkten x,y ∈ X mit x ≠ y gibt es eine stetige Funktion f : X → ℝ mit f(x) = 0 und f(y) = 1. Welche topologische Trennungseigenschaft folgt hieraus für \underline{X}?

b) \underline{X} habe die Eigenschaft: Zu jedem x ∈ X und jeder abgeschlossenen Teilmenge A ⊂ X mit x ≠ A gibt es eine stetige Funktion f : X → ℝ mit f(x) = 0 und f|_{A}= 1. Welche topologische Trennungseigenschaft folgt hieraus für \underline{X}?

c) \underline{X}habe die Eigenschaft: Für je zwei abgeschlossene Teilmengen A,B ⊂ X mit A∩B = ∅ gibt es eine stetige Funktion f : X → ℝ mit f|_{A}= 0 und f|_{B}= 1. Welche topologische Trennungseigenschaft folgt hieraus für \underline{X}?

Aufgabe 2:

a) Sei g: ℤ^{d} → ℝ eine Abbildung (d ∈ ℕ). Zeigen Sie: Es gibt ein stetiges f : ℝ^{d} → ℝ mit f(x) = g(x) für alle x ∈ ℤ^{d}.

b) Sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine streng monoton wachsende Folge reeller Zahlen und (b_{n})_{n∈ℕ} eine Folge reeller Zahlen. Geben Sie notwendige und hinreichende Bedingungen (mit Beweis) für die Existenz einer stetigen Funktion f : ℝ → ℝ mit f(a_{n}) = b_{n} für alle n ∈ ℕ an.

Aufgabe 3: Sei X ≠ ∅ eine Menge und

(i) T = T_{A}:= {B;B = ∅ oder A ⊂ B ⊂ X} für eine nicht-leere Teilmenge A von X,

(ii) P eine Partition von X und T = T_{P} die zugehörige Partitionstopologie auf X.

a) Geben Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz einer Folge (x_{n})_{n∈ℕ} in (X,T ) an und bestimmen Sie die Menge der Limiten.

b) Ist (X,T ) folgenbestimmt?

Aufgabe 4: Sei (X,T ) die nested interval topology, d.h. X = ]0,1[ und T = {∅,X} ∪ {U_{n};n ∈ ℕ,n ≥ 2} mit U_{n}:= ]0,1 − 1/n[ ,n = 2,3,4,.... Man zeige:

a) T ist eine Topologie auf X.

b) Jede offene Teilmenge von X, außer X selbst, ist quasi-kompakt.

c) Keine abgeschlossene Teilmenge von X, außer ∅, ist quasi-kompakt.