Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 05.07.2002

Prof. Dr. S. Walcher Dipl.-Math. Bernd Ohligs

11. Übung zur Vorlesung Topologie

(Abgabe: Freitag, 12.07.2002, bis 11.45 Uhr im Übungskasten)

Aufgabe 1*: Seien \underline{X},\underline{Y}topologische Räume, f : X → Y stetig und bijektiv. Beweisen Sie oder widerlegen Sie durch Angabe eines Gegenbeispiels die Allgemeingültigkeit der folgenden Implikationen.

a) (i) \underline{X} Hausdorff-Raum ⟹ \underline{Y}Hausdorff-Raum .

(ii) \underline{Y}Hausdorff-Raum ⟹ \underline{X} Hausdorff-Raum .

b) (i) \underline{X} reguär ⟹ \underline{Y}regulär .

(ii) \underline{Y}regulär ⟹ \underline{X} regulär .

Aufgabe 2: Sei \underline{X}= (X,T ) ein topologischer Raum und T eine Partitionstopologie. Unter welchen Voraussetzungen ist \underline{X} ein Hausdorff-Raum, regulär bzw. normal?

Aufgabe 3: Sei \underline{X} ein normaler, topologischer Raum und \underline{Y} ein topologischer Raum, f : X → Y eine surjektive, stetige und abgeschlossene Abbildung. Man zeige: \underline{Y}ist normal.

Aufgabe 4: Sei \underline{X}ein normaler topologischer Raum. Seien A_{1},...,A_{n},n ≥ 1, abgeschlossene Teilmengen von X mit der Eigenschaft

⋂_{i=1}^{n} A_{i} = ∅.

Zeigen Sie, dass es offene Teilmengen U_{1},...,U_{n} von X gibt, so dass

A_{i} ⊂ U_{i} für 1 ≤ i ≤ n und ⋂_{i=1}^{n} U_{i} = ∅.