Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 28.06.2002

Prof. Dr. S. Walcher Dipl.-Math. Bernd Ohligs

10. Übung zur Vorlesung Topologie

(Abgabe: Freitag, 05.07.2002, bis 11.45 Uhr im Übungskasten)

Aufgabe 1: Sei \underline{X} ein topologischer Raum.

a) Es seien a,b,c ∈ X und es gebe eine Kurve von a nach b und eine Kurve von b nach c. Zeigen Sie: Es existiert eine Kurve von a nach c und eine Kurve von b nach a.

b) Zeigen Sie: Sind A,B kurvenzusammenhängende Teilmengen von X und ist A ∩ B ≠ ∅, so ist auch A ∪ B kurvenzusammenhängend. Genügt hierfür auch die schwächere Voraussetzung \overline{A}∩ B ≠ ∅? (Beweis oder Gegenbeispiel!)

c) Zeigen Sie: Jede kurvenzusammenhängende Teilmenge Y von X liegt in einer maximalen kurvenzusammenhängenden Teilmenge.

Aufgabe 2*: Gegeben sei der ℝ^{n} mit der natürlichen Topologie.

a) Zeigen Sie: Ist U ⊂ ℝ^{n} offen, so ist jede Zusammenhangskomponente von U offen, und es gibt höchstens abzählbar unendlich viele solche Komponenten.

b) Geben Sie eine Teilmenge des ℝ^{n} mit überabzählbar vielen Zusammenhangskomponenten an.

Aufgabe 3: a) Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen wegzusammenhängende Teilmengen von M_{n}(ℝ) ≅ ℝ^{n^{2}} mit der natürlichen Topologie sind:

(i) die Menge P_{n}(ℝ) der positiv definiten Matrizen, (ii) SL_{n}(ℝ) (spezielle lineare Gruppe), (iii) SO_{n}(ℝ) = {U ∈ M_{n}(ℝ) ; UU^{t} = E, detU = 1} (spezielle orthogonale Gruppe).

b) Wie sehen die Zusammenhangskomponenten der orthogonalen Gruppe O_{n}(ℝ) aus?

Aufgabe 4: Sei X ein topologischer Raum und A ⊂ X beliebig. Zeigen Sie, dass es einen topologischen Raum Y und zwei stetige Abbildungen f,g: X → Y gibt mit

{x ∈ X ; f(x) = g(x)} = A.

Hinweis: Wählen Sie für Y einen geeigneten Quotientenraum von X × {1,2}.