Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 26.05.2001

Prof. Dr. E. Görlich Dipl.-Math. T. Heck

9. Übung zur Vorlesung Topologie

(Abgabe: Dienstag, 03.07.2001, bis 11.45 Uhr im Übungskasten)

Aufgabe 1: Sind die folgenden topologischen Räume normal und/oder regulär?

a) Der topologische Raum ℝ^{∗} aus Aufgabe 3a), 2. Übung.

b) Die obere Halbebene H aus Aufgabe 3b), 2. Übung.  5

Aufgabe 2: Sei X ein normaler, topologischer Raum und Y ein topologischer Raum, f :

X → Y eine surjektive stetige und abgeschlossene Abbildung. Man zeige: Y ist normal.  4

Aufgabe 3: Sei X ein topologischer Raum. Zeigen Sie: X ist genau dann normal, wenn es zu jeder endlichen Überdeckung U_{1},...,U_{n} von X mit offenen Mengen stetige Abbildungen f_{i} : X → [0,1] gibt:

(i) ∑ _{i=1}^{n} f_{i}(x) = 1 für alle x ∈ X,

(ii) f_{i}(x) = 0 ∀ x ∈ C_{X}U_{i} , 1 ≤ i ≤ n.  6

Aufgabe 4*: Sei X ein normaler topologischer Raum. Seien A_{1},...,A_{n}, n ≥ 1, abgeschlossene Teilmengen von X mit der Eigenschaft

⋂_{i=1}^{n} A_{i} = ∅.

Zeigen Sie, dass es offene Teilmengen U_{1},...,U_{n} von X gibt, so dass

A_{i} ⊂ U_{i} für 1 ≤ i ≤ n und ⋂_{i=1}^{n} U_{i} = ∅.

Aufgabe 5: (X,d) sei ein pseudometrischer Raum. Eine Folge (x_{n})_{n} in X heißt Cauchy– Folge, falls gilt:

∀ ε > 0 ∃ n_{0} ∈ ℕ ∀ m,n ≥ n_{0} d(x_{m},x_{n}) < ε .
Zeigen Sie, dass jede konvergente Folge eine Cauchy–Folge ist.  3