Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 19.05.2001

Prof. Dr. E. Görlich Dipl.-Math. T. Heck

8. Übung zur Vorlesung Topologie

(Abgabe: Dienstag, 26.06.2001, bis 11.45 Uhr im Übungskasten)

Aufgabe 1: Sei ℝ^{2} mit der natürlichen Topologie versehen und

A:= \{(x,sin \frac{2π}{x}) ; x > 0\}.

a) Bestimmen Sie \overline{A}.

b) Zeigen Sie, dass \overline{A}eine zusammenhängende Teilmenge von ℝ^{2} ist.

c) Zeigen Sie, dass \overline{A} nicht wegzusammenhängend ist, und geben Sie die Anzahl der

Wegzusammenhangskomponenten von \overline{A}an.  5

Aufgabe 2: Sei X ein topologischer Raum und Aut( X) die Automorphismengruppe von X. Ist Γ eine Untergruppe von Aut(X), so definiert man für x,y ∈ X:

x ∼ y :⇔ ∃ f ∈ Γ mit f(x) = y.

Zeigen Sie:

a) ∼ ist eine Äquivalenzrelation auf X.

b) Ist |Γ| < ∞ und X ein Hausdorff–Raum, so ist X/∼ ein Hausdorff–Raum.

c) Kann man in b) auf die Voraussetzung |Γ| < ∞ verzichten?  5

Aufgabe 3: Zeigen Sie, dass die folgenden Räume hausdorffsch sind:

a) der topologische Raum aus Aufgabe 8, 6. Übung,

b) der topologische Raum ℝ^{∗} aus Aufgabe 3 a), 2. Übung,

c) die obere Halbebene H aus Aufgabe 3 b), 2. Übung.  6

Aufgabe 4: Sei T_{n} die Zariski-Topologie auf 𝕂^{n}, K = ℝ,ℂ. Zeigen Sie:

a) Jede Zariski-offene Menge A ≠ ∅ ist dicht in der natürlichen Topologie auf K^{n}.

b) (K^{n},T_{n}) ist nicht Hausdorffsch.  4

Aufgabe 5*: Sei ℝ^{n} mit der natürlichen Topologie versehen, U ein (n − 1)–dimensionaler Unterraum von ℝ^{n}, a ∈ ℝ^{n} und H := a+U. Bestimmen Sie die Zusammenhangskomponenten von ℝ^{n}\H. Hinweis: Benutzen Sie die Hessesche Normalform von H.