Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 12.05.2001

Prof. Dr. E. Görlich Dipl.-Math. T. Heck

7. Übung zur Vorlesung Topologie

(Abgabe: Dienstag, 19.06.2001, bis 11.45 Uhr im Übungskasten)

Aufgabe 1: a) Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen wegzusammenhängende Teilmengen von M_{n}(ℝ) ≅ ℝ^{n^{2}} mit der natürlichen Topologie sind:

(i) Pos_{n}(ℝ) = {P ∈ M_{n}(ℝ) ; P > 0} (positiv definite Matrizen), (ii) SO_{n}(ℝ) = {U ∈ M_{n}(ℝ) ; UU^{t} = E, detU = 1} (spezielle orthogonale Gruppe),

(iii) Nil_{n}(ℝ) (nilpotente Matrizen).  6
b) Wie sehen die Zusammenhangskomponenten der orthogonalen Gruppe O_{n}(ℝ) aus?  2

c) Zeigen Sie, dass die Gruppe GL_{n}(ℂ) der invertierbaren Matrizen über ℂ eine offene,

wegzusammenhängende Teilmenge von M_{n}(ℂ) ≅ ℂ^{n^{2}} mit der natürlichen Topologie ist.  4
d) Bleibt die Aussage in c) richtig, wenn man ℂ durch ℝ ersetzt?  1

Aufgabe 2: Für n ∈ ℕ ∪ {0} sei S^{n}:= {x ∈ ℝ^{n+1} ; ||x||_{eukl}= 1} ⊂ ℝ^{n+1} die n–Sphäre, versehen mit der Spurtopologie von (ℝ^{n+1} ,T_{nat}). Zeigen Sie:

a) Für n ∈ ℕ ist S^{n} zusammenhängend. Was gilt für n = 0?  3
b) Ist n ≥ 2 und M ⊂ ℝ^{n} abzählbar, so ist (ℝ^{n}\ M,T_{rel}) zusammenhängend.  4

Aufgabe 3: Sei M_{n}(ℝ) wieder mit der natürlichen Topologie versehen und M := {A ∈ M_{n}(ℝ) ; Spur(A) ≠ 0}.

a) Zeigen Sie, dass M offen und dicht in M_{n}(ℝ) ist.  2
b) Zeigen Sie, dass M nicht zusammenhängend ist.  2
c) Wie sehen die Zusammenhangskomponenten von M aus?  2

Aufgabe 4: Sei (X,T ) ein topologischer Raum und ∼ die Relation auf X, so dass für x, y ∈ X die Relation x ∼ y genau dann besteht, wenn ein Weg f : [0,1] → X mit f(0) = x und f(1) = y existiert. Zeigen Sie:

a) ∼ ist eine Äquivalenzrelation. 2 b) Für x ∈ X ist die Wegzusammenhangskomponente W (x) := {y ∈ X ; y ∼ x} die grösste x enthaltende, wegzusammenhängende Teilmenge von X. 2 c) W (x) = C(x) für alle x ∈ X, falls jeder Punkt eine offene, wegzusammenhängende Umge-

bung besitzt.  2

Aufgabe 5*: Seien A und B disjunkte abgeschlossene Mengen eines metrischen Raumes X. Zeigen Sie, dass es eine stetige Abbildung f : X → [0,1] mit A = f^{−1} ({0}) und B = f^{−1} ({1}) gibt.