Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 29.05.2001

Prof. Dr. E. Görlich Dipl.-Math. T. Heck

6. Übung zur Vorlesung Topologie

(Abgabe: Dienstag, 12.06.2001, bis 11.45 Uhr im Übungskasten)

Aufgabe 1: Zeigen Sie:

a) Sind (X,T ),(Y,T ′) topologische Räume und A ⊂ X,B ⊂ Y, so gilt int(A×B) = (intA)× (intB).

b) Sind (X_{i},T_{i}),i ∈ I, topologische Räume und A_{i} ⊂ X_{i},i ∈ I, so gilt ∏ _{i∈I}(intA_{i}) ⊃ int(∏ _{i∈I} A_{i}).

c) In b) gilt i.A. nicht Gleichheit.  5

Aufgabe 2: Sei X ein topologischer Raum und A ⊂ X beliebig. Zeigen Sie, dass es einen topologischen Raum Y und zwei stetige Abbildungen f,g: X → Y gibt mit

{x ∈ X ; f(x) = g(x)} = A.
\underline{Hinweis:} Wählen Sie für Y einen geeigneten Quotientenraum von X × \{1,2\}.  4

Aufgabe 3: Auf (ℝ^{2},T_{nat}) seien Äquivalenzrelationen R_{1}, R_{2} definiert durch (i) ((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})) ∈ R_{1} ⟺ x_{1}^{2}+ x_{2}^{2} = y_{1}^{2}+ y_{2}^{2}, (ii) ((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})) ∈ R_{2} ⟺ (x_{1} = y_{1} = 0 ∧ x_{2} = y_{2}) ∨ x_{1} = y_{1} ≠ 0.

ℝ^{2}/R_{j} sei jeweils mit der Quotiententopologie T_{R_{j}} versehen.

a) Zu welchem bekannten topologischen Raum ist ℝ^{2}/R_{1} homöomorph?

b) Bestimmen Sie ℝ^{2}/R_{2} und zeigen Sie, dass es [x], [y] ∈ ℝ^{2}/R_{2} mit [x] ≠ [y] und U ∩V ≠ ∅

für alle U ∈ T ([x]) und alle V ∈ T ([y]) gibt.  2

Aufgabe 4: Sei (X,T ) ein topologischer Raum.

a) Zeigen Sie, dass die Zusammenhangskomponenten von X eine Partition von X bilden.

b) A ⊂ X heißt Zerlegungsmenge von X, falls A offen und abgeschlossen ist. Für x ∈ X sei C(x) die Zusammenhangskomponente von X, die x enthält, und Q(x) := ⋂ {A ⊂ X | x ∈ A und A Zerlegungsmenge von X}. Man nennt Q(x) die Quasikomponente von x. Zeigen Sie:

(i) Für jedes x ∈ X ist Q(x) abgeschlossen in X.

(ii) {Q(x) ; x ∈ X} ist eine Partition von X.

(iii) Für jedes x ∈ X gilt C(x) ⊂ Q(x).

(iv) C(x) ist genau dann offen, wenn Q(x) offen ist. In diesem Fall gilt C(x) = Q(x).  3

Aufgabe 5: Bestimmen Sie die Zusammenhangskomponenten von (X,T ), falls (i) T = T_{A}:= {U ⊂ X ; A ⊂ U oder U = ∅ } für ein A ⊂ X ist, (ii) T = T_{P} Partitionstopologie für eine Partition P von X ist,

(iii) T = T_{d} für eine Ultrametrik d auf X ist.  3

Aufgabe 6:

a) Seien (X,T ), (X,T ′) zwei topologische Räume, T feiner als T ′und Y ⊂ X. Zeigen Sie: Ist Y als Unterraum von (X,T ) zusammenhängend, so ist Y auch als Unterraum

von (X,T ′) zusammenhängend.  2

b) Zeigen Sie: Die natürliche Topologie T auf ℝ^{n}(ℂ^{n}) ist feiner als die Zariski–Topologie T_{Z} auf ℝ^{n} (ℂ^{n}). Folgern Sie:

(ℝ^{n},T_{Z}) , (ℂ^{n},T_{Z}) sind zusammenhängend .

2

Aufgabe 7: Mittels des Zusammenhangs zeige man, dass (ℝ,T_{nat}) und (ℝ^{n},T_{nat}) für n ≥ 2

nicht homöomorph sind.  5

Aufgabe 8*: Sei 𝕂 ein Körper, versehen mit der diskreten Topologie, V ≠ {0} ein 𝕂– Vektorraum und U := {U | U Unterrraum von V mit dim(V /U) < ∞}. Zeigen Sie:

a) B := {x + U ; x ∈ V, U ∈ U} ist Basis einer Topologie T auf V. Betrachten Sie nun den topologischen Raum (V,T ). Zeigen Sie weiter:

b) Die Elemente von B sind abgeschlossen.

c) V ist genau dann diskret, wenn dimV < ∞.

d) Endomorphismen von V sind stetige Abbildungen.

e) Die Abbildungen V × V → V, (x,y) ↦ x + y und 𝕂 × V → V, (α,x) ↦ αx (Skalarmultiplikation) sind stetig.

f) Ist (b_{i})_{i∈I} Basis von V, so ist die Abbildung f : V → 𝕂^{I}, v:= ∑_{i∈I} α_{i}b_{i} ↦ (α_{i})_{i∈I} injektiv und stetig. Ist f offen?