Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 22.05.2001

Prof. Dr. E. Görlich Dipl.-Math. T. Heck

5. Übung zur Vorlesung Topologie

(Abgabe: Dienstag, 29.05.2001, bis 11.45 Uhr im Übungskasten)

Aufgabe 1: a) Sei T_{nat} die natürliche Topologie auf ℝ. Zeigen Sie, dass B := T_{nat}∪ U(∞) mit

U(∞) := {{∞} ∪ {x ∈ ℝ; |x| > n} | n ∈ ℕ}

Basis einer Topologie auf ℝ_{∞} := ℝ ∪^{·} {∞} ist. Diese Topologie sei T_{∞}.

b) Welche der Räume (ℝ,T_{nat}), (ℝ_{∞} ,T_{∞}), ([0,1],T_{nat}) und (S^{1},T_{nat}) sind homöomorph?

(Dabei sei S^{1} := {x ∈ ℝ^{2}; |x| = 1}.)  4

Aufgabe 2: Sei (X,T ) ein topologischer Raum. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:

(i) T ist eine Partitionstopologie auf X.

(ii) Es existiert ein diskreter Raum Y und eine Abbildung f : X → Y, so dass T die Initi-

altopologie von (f : X → Y) ist.  4

Aufgabe 3: a) Sei X := ℝ. Bestimmen Sie die bezüglich der Menge aller monoton wachsenden Funktionen f : X → (ℝ,T_{nat}) initiale Topologie auf X. 3 b) Sei 𝕂 ein Körper.

Wie läßt sich die Zariskitopologie auf 𝕂^{n} als Initialtopologie darstellen?  3

Aufgabe 4: Seien (Y,T_{rel}) ein topologischer Unterraum des nichtleeren topologischen Raumes (X,T ) und A ⊂ Y. Zeigen Sie:

a) A^{∘} ⊂ B, wobei B der offene Kern von A in der Relativtopologie auf Y ist.  1
b) C ⊂ Y ∩ ∂A, wobei C der Rand von A in der Relativtopologie auf Y ist.  2
c) Zeigen Sie an Beispielen, dass weder in a) noch in b) Gleichheit gelten muss.  2

Aufgabe 5:

a) Λ heißt Gitter im ℝ^{n}, wenn es eine Basis b_{1},...,b_{n} von ℝ^{n} gibt mit Λ = ℤb_{1}+...+ℤb_{n}. Wir betrachten ℝ^{n} mit der natürlichen Topologie und zwei Gitter Λ,Λ′im ℝ^{n}.

Zeigen Sie, dass die Quotientenräume ℝ^{n}/Λ und ℝ^{n}/Λ′homöomorph sind.  2

b) [Der Fall n = 2]. Zeigen Sie, dass der Quotientenraum ℂ/(ℤ + ℤi ) homöomorph zum 2–dimensionalen Torus

T^{2} = {(z,ω) ∈ ℂ × ℂ ; |z| = |ω| = 1} = S^{1}× S^{1}

mit der Relativtopologie von ℂ × ℂ ist.

(ℂ sei mit der natürlichen Topologie versehen.)  2

Aufgabe 6*: Sei B_{n} := {x ∈ ℝ^{n} ; ||x|| ≤ 1} und X ⊂ ℝ^{n} eine abgeschlossene beschränkte konvexe Teilmenge von ℝ^{n} mit nichtleerem Innern. X und B_{n} seien jeweils mit der natürlichen Topologie versehen. Zeigen Sie, dass X und B_{n} homöomorph sind.