Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 15.05.2001

Prof. Dr. E. Görlich Dipl.-Math. Thorsten Heck

4. Übung zur Vorlesung Topologie

(Abgabe: Dienstag, 22.05.2001, bis 11.45 Uhr im Übungskasten)

Hinweise

Ab sofort findet die Diskussionsstunde von Lars Schroeren nicht mehr mittwochs, sondern dienstags von 14.00 bis 15.30 Uhr im Hörsaal H212 statt. Die Diskussionsstunden am 24.5. sowie am 14.6. entfallen, bitte weichen Sie in diesen Wochen auf den Dienstagstermin aus.

Aufgabe 1: Sei ℕ versehen mit der kofiniten Topologie. f, g, h : ℕ → ℕ seien definiert durch f(1) = g(1) = h(1) := 1 und

f(n) := max{k ∈ ℕ; k|n und k < n},
g(n):= max{k ∈ ℕ; k|n und k prim},
h(n):= \{ \begin{matrix}n, & falls n prim, \\ n − g(n), & sonst. \end{matrix}

für n ≥ 2. Untersuchen Sie die Abbildungen f, g und h auf Stetigkeit.  4

Aufgabe 2: Die Menge M_{n}(ℝ) ≅ ℝ^{n^{2}} der reellen n × n–Matrizen sei mit der natürlichen Topologie versehen. Untersuchen Sie, welche der folgenden Mengen abgeschlossene oder offene Teilmengen von M_{n}(ℝ) sind:

(i) Sym_{n}(ℝ) = {S ∈ M_{n}(ℝ); S^{t} = S} (symmetrische Matrizen), (ii) Alt_{n}(ℝ) = {A ∈ M_{n}(ℝ); A^{t} = −A} (schiefsymmetrische Matrizen), (iii) O_{n}(ℝ) = {U ∈ M_{n}(ℝ); UU^{t} = U^{t}U = E} (orthogonale Gruppe), (iv) SL_{n}(ℝ) (spezielle lineare Gruppe),

(v) GL_{n}(ℝ) (allgemeine lineare Gruppe),

(vi) Nil_{n}(ℝ) = {N ∈ M_{n}(ℝ) ; ∃k ∈ ℕ N^{k} = 0} (nilpotente Matrizen).  4

Aufgabe 3: Sei (X,T ) ein topologischer Raum mit X ≠ ∅. Sei T ^{∗} die Topologie auf ℝ^{∗} aus Aufgabe 3, Blatt 2. Zeigen Sie:

a) Eine Abbildung f : ℝ^{∗} → ℝ ist genau dann stetig, wenn f|_{ℝ} : ℝ → ℝ stetig ist und die beiden Limiten lim_{x→+∞} f|_{ℝ}(x) bzw. lim_{x→−∞} f|_{ℝ}(x) existieren und mit f(+∞) bzw. f(−∞) übereinstimmen.

b) Eine Abbildung f : X → ℝ^{∗} ist genau dann stetig, wenn für jedes c ∈ ℝ die Mengen {x ∈ X;f(x) > c} und {x ∈ X;f(x) < c} offen sind.

c) Sind f_{j} : X → ℝ^{∗}, j = 1,...,n, stetig, so sind auch die durch

M(x) := max_{1≤j≤n} f_{j}(x) und m(x) := min_{1≤j≤n} f_{j}(x)

definierten Abbildungen M : X → ℝ^{∗} und m: X → ℝ^{∗} stetig.

d) Für n ∈ ℤ, n ≥ 0, definiere man g_{n}: ℝ → ℝ^{∗} durch g_{n}(x) = x^{−n} für x ≠ 0 und g_{n}(0) :=

+∞. Welche der Abbildungen g_{n} sind stetig?  6

Aufgabe 4: Sei (X,T ) ein topologischer Raum.

a) Zeigen Sie, dass Automorphismengruppen homöomorpher topologischer Räume isomorph sind.

b) Zeigen Sie an einem Beispiel, dass aus der Isomorphie der Automorphismengruppen noch

nicht die Homöomorphie der topologischen Räume folgt.  3

Aufgabe 5: Sei 𝕂 ein Körper, T_{n} die Zariski–Topologie auf 𝕂^{n} und p : 𝕂^{n} → 𝕂^{m} eine polynomiale Abbildung, d.h. es existieren Polynomfunktionen p_{1},...,p_{m}: 𝕂^{n} → 𝕂 mit

p(x) = (p_{1}(x),...,p_{m}(x)) für alle x ∈ 𝕂^{n}.
Zeigen Sie, dass p: (𝕂^{n},T_{n}) → (𝕂^{m},T_{m}) stetig ist.  4

Aufgabe 6*: (Diese Aufgabe kann von zwei Personen vorgerechnet werden, Teil d) steht dabei dann alleine.)

a) Seien (X,d_{X}) und (Y,d_{Y}) metrische Räume, λ ≥ 0 und f : X → Y eine Abbildung mit d_{Y}(f(x),f(y)) ≤ λd_{X}(x,y) für alle x, y ∈ X.

Zeigen Sie, dass f stetig ist. Wenn λ < 1 ist, nennt man f eine Kontraktion mit Lipschitzkonstante λ.

b) Sei (X,d) ein metrischer Raum, f : X → X eine Kontraktion mit Lipschitzkonstante λ < 1 und x_{1} ∈ X. (x_{n})_{n∈ℕ} sei induktiv definiert durch x_{n+1} = f(x_{n}) für n ∈ ℕ. Zeigen Sie:

(i) Für m, n ∈ ℕ mit m > n ist d(x_{m},x_{n}) < \frac{λ^{n−1}}{1 − λ} d(x_{1},x_{2}).

(ii) Wenn f einen Fixpunkt hat, so ist dieser eindeutig.

c) Sei C([0,1]) := {f : [0,1] → ℝ | f stetig}, wobei [0,1] und ℝ mit der natürlichen Topologie versehen seien. Für f, g ∈ X sei d(f,g) := sup_{x∈[0,1]}|f(x) − g(x) |. Zeigen Sie, dass d eine Metrik auf C([0,1]) ist.

d) Sei γ : ℝ → ℝ eine Kontraktion. Für f ∈ C([0,1]) sei T_{γ}f : [0,1] → ℝ definiert durch (T_{γ}f)(x) = ∫_{0}^{x}γ(f(t))dt. Zeigen Sie:

(i) T_{γ}: C([0,1]) → C([0,1]) ist eine Kontraktion.

(ii) Es gibt genau ein f ∈ C([0,1]) mit f(x) = ∫_{0}^{x}γ(f(t))dt.

(iii) Die in (ii) charaktrisierte Funktion f ist differenzierbar und erfüllt die Differentialgleichung f′= γ ∘ f und die Anfangsbedingung f(0) = 0.