Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 30.04.2001

Prof. Dr. E. Görlich Dipl.-Math. Thorsten Heck

2. Übung zur Vorlesung Topologie

(Abgabe: Dienstag, 8.5.2001, bis 11.45 Uhr im Übungskasten)

Aufgabe 1: Sei T := {∅,{2},[0,2],[2,4),[0,4),ℝ} ⊂ P (ℝ).

a) Zeigen Sie, daß T eine Topologie für ℝ ist. Ist T feiner oder gröber als T_{nat}?

b) Geben Sie zu jedem x ∈ ℝ das Umgebungssystem 𝔘(x,T ) an.

c) Bestimmen Sie alle Häufungspunkte von A = (1,3) bezüglich T .  3

Aufgabe 2: Sei X eine Menge. Eine Teilmenge P ≠ ∅ der Potenzmenge P (X) heißt eine Partition von X, wenn je zwei Elemente von P disjunkt sind und ∪_{P∈P}P = X gilt.

a) Sei P eine Partition von X. Zeigen Sie, dass P die Basis einer Topologie T_{P} auf X ist. Diese Topologie heißt Partitionstopologie (zur Partition P). Welche Partitionen muss

man betrachten, um die diskrete bzw. indiskrete Topologie auf X zu erhalten?  2

b) Sei T eine Topologie auf X. Zeigen Sie die Äquivalenz der beiden folgenden Aussagen:

(i) T stimmt mit der Menge der abgeschlossenen Teilmengen von X überein.

(ii) Es gibt eine Partition P von X mit T = T_{P}.  3

Aufgabe 3:

a) Sei T_{n} die natürliche Topologie auf ℝ, ℝ^{∗} = ℝ ∪ {+∞,−∞} und

B = T_{n}∪ {]a,+∞[ ∪ {+∞}; a ∈ ℝ} ∪ {] − ∞,b[ ∪ {−∞}; b ∈ ℝ}.

Zeigen Sie:

B ist Basis einer Topologie T ^{∗} auf ℝ^{∗}.  3

b) Im ℝ^{2} definiert man die obere Halbebene durch

H := {(x,y) ∈ ℝ^{2} ; y ≥ 0}.

Für r > 0 und (x_{0},y_{0}) ∈ ℝ^{2} ist

K_{r}(x_{0},y_{0}) := {(x,y) ∈ ℝ^{2} ; (x − x_{0})^{2}+ (y − y_{0})^{2} < r^{2}}

die offene Kreisscheibe mit Mittelpunkt (x_{0},y_{0}) und Radius r.

Zeigen Sie, dass

B := {K_{r}(x,y) ; (x,y) ∈ H,0 < r ≤ y} ∪ {K_{r}(x,r) ∪ {(x,0)}; x ∈ ℝ,r > 0}
Basis einer Topologie T auf H ist.  3

Aufgabe 4: Zeigen Sie, dass

B := {[a,b[; a,b ∈ ℝ,a < b}

Basis einer Topologie T ist und dass (ℝ,T ) das erste, aber nicht das zweite Abzählbar-

keitsaxiom erfüllt.  4

Aufgabe 5: Sei (X,T ) ein topologischer Raum und A,B ⊂ X. Zeigen Sie:

a) x ∈ A′⇒ x ∈ (A\{x})′.  2
b) (A ∪ B)′= A′∪ B′.  3
c) x ∈ \overline{A}⇔ (A ∩ U) ≠ ∅ für alle U ∈ U(x).  2

Aufgabe 6*: Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Sei Max(R) die Menge der maximalen Ideale in R. Für jede Teilmenge S ⊆ Max(R) sei

\overline{S} := \{M ∈ Max(R);_{⋂ S∈S}S ⊆ M\}.

Zeigen Sie: Es gibt genau eine Topologie auf Max(R), für die \overline{S} der Abschluss von S für

jede Teilmenge S ⊆ Max(R) ist.  4

Bemerkung Bitte beachten Sie den Übungstermin am 3. 5., 14:00 Uhr, Be 225.