Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 03.07.2001

Prof. Dr. E. Görlich Dipl.-Math. T. Heck

10. Übung zur Vorlesung Topologie

(Abgabe: Dienstag, 10.07.2001, bis 11.45 Uhr im Übungskasten)

Aufgabe 1: Für x,y ∈ ℝ sei d(x,y) := | \frac{x}{1+|x|} − \frac{y}{1+|y|} | . Zeigen Sie:

a) d ist eine Metrik auf ℝ, welche die natürliche Topologie induziert.

Hinweis: Benutzen Sie den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.  4
b) Geben Sie eine Cauchy–Folge in (ℝ,d) an, die nicht konvergiert.  2

Aufgabe 2: Zeigen Sie:

a) Psd_{n}(ℝ) = \overline{P_{n}(ℝ)}. Dabei sei Psd_{n}(ℝ) die Menge der positiv semidefiniten n × n-

Matrizen über ℝ.  3
b) GL_{n}(ℝ) ist eine dichte Teilmenge von M_{n}(ℝ).  3

c) D_{n}(ℂ) ist eine dichte Teilmenge von M_{n}(ℂ). Hier sei D_{n}(ℂ) die Menge der diagona-

lisierbaren Matrizen über ℂ.  3

Aufgabe 3: Sei X eine nicht–leere Menge, A ein Filter auf X und

B := {B ⊂ X | X\B endlich }.

Beweisen Sie die Äquivalenz der beiden Aussagen

(i) B ⊂ A.

(ii) ⋂ _{A∈A}A = ∅.  3

Aufgabe 4: Sei ∅ ≠ X endlich. Zeigen Sie, dass jeder Filter auf X von der Form

F_{A}:= {B ; A ⊂ B ⊂ X}, ∅ ≠ A ⊂ X
ist. Wie sehen die Ultrafilter aus?  3

Aufgabe 5: Sei X unendlich. Zeigen Sie, dass auf X ein nicht–trivialer Ultrafilter existiert.  3