Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 20.04.2001

Prof. Dr. E. Görlich Dipl.-Math. Thorsten Heck

1. Übung zur Vorlesung Topologie

Hinweise zur Vorlesung Topologie

Vorlesungen und Übungen zur Topologie finden in den folgenden Hörsälen statt:

Mo 11.45 – 13.15  Vorlesung  Hörsaal III,
Fr 11.45 – 13.15  Vorlesung  Hörsaal V,
Di 11.45 – 13.15  Übung  Hörsaal V.

Diskussionsstunden: Mi 14.00 – 15.30 H212, Do 11.45 – 13.15 H212.

Am 24. 4. wird anstelle der Übung eine Vorlesung stattfinden. Die Übung vom 1. 5. findet nicht statt (Feiertag), sie wird am 3. 5. um 14.00 Uhr im Hörsaal Be 225 nachgeholt. Die Übung am 8. 5. findet erst um 14.00 Uhr im Hörsaal E2 statt.

Übungen: Jede Woche wird dienstags in der Übung ein Übungszettel ausgegeben. (Die 2. Übung gibt es am Montag, 30. April.) Maximal zwei Personen dürfen gemeinsam abgeben. Ihre Lösungen werfen Sie bitte in den dafür vorgesehenen Kasten vor dem Sekretariat des Lehrstuhls A (Hauptgebäude, Raum 153). Die Übungsblätter sind auch im Internet erhältlich unter

http://www.mathA.rwth-aachen.de/lehre/SS01/Topologie

Die Homepage des Lehrstuhls A für Mathematik finden Sie unter

http://www.mathA.rwth-aachen.de

Scheine/Klausuren: Für den Erhalt eines Scheines muss eine der beiden Klausuren bestanden werden. Eine Voraussetzung für die Teilnahme an den Klausuren besteht nicht. Für den (benoteten) Schein wird die bessere der beiden Klausuren gewertet. Der durch die Klausuren erreichbare Schein zählt für Lehramtskandidaten als Leistungsnachweis. Lehramtskandidaten, die einen qualifizierten Studiennachweis erwerben wollen, müssen 1/3 der Übungspunkte erreichen und eine der mit einem Stern gekennzeichneten Aufgaben der Übungsblätter in den Diskussionsstunden vorrechnen. Die 1. Klausur findet an folgendem Termin statt:

Montag, 16. 07. 2001, 16.00–19.00 Uhr im AM.

Der Termin der 2. Klausur wird noch bekanntgegeben, er wird voraussichtlich in der ersten oder zweiten Vorlesungswoche des Wintersemesters liegen.

Aufgabe 1:

a) Bestimmen Sie alle Topologien auf einer zweielementigen Menge.  2

b) Sei X eine Menge mit zwei verschiedenen, nichtleeren, echten Teilmengen A,B. Wann

ist

T := {∅,X,A,B}
eine Topologie auf X?  2

c) Sei X eine dreielementige Menge. Bestimmen Sie alle Topologien auf X, die genau 4

offene Mengen besitzen.  2

Aufgabe 2:

a) Sei X eine Menge und A eine Teilmenge von X. Zeigen Sie, dass

T_{A}:= {B; B = ∅ oder A ⊂ B ⊂ X}

eine Topologie auf X ist. Wie hat man A zu wählen, um die diskrete bzw. die indiskrete

Topologie auf X zu erhalten?  3

b) Seien (X,T ) und (Y,T ′) topologische Räume.

(i) Seien X und Y disjunkt. Zeigen Sie, dass

T ^{∗} := {A ∪ B; A ∈ T ,B ∈ T ′}
eine Topologie auf X ∪ Y ist.  2
(ii) Ist T ^{∗} auch noch eine Topologie, wenn X und Y nicht disjunkt sind?  2

Aufgabe 3: Sei X eine nichtleere Menge und ϱ eine Abbildung von X × X in ℝ. Setze für f ∈ X, ε > 0

S_{ε}(f) := {g ∈ X; ϱ(g,f) < ε} .

S_{ε}(f) heißt eine εεε–Kugel um f oder εεε–Umgebung von f bezüglich ϱ. Man zeige:

T_{ϱ} := {G ⊂ X; ∀g ∈ G ∃ε > 0 mit S_{ε}(g) ⊂ G}
ist eine Topologie auf X.  4

Aufgabe 4: Sei 𝕂 ein Körper, n ∈ ℕ und P die Menge aller Polynomfunktionen p: 𝕂^{n}→ 𝕂 in n Variablen mit Werten in 𝕂. Für I ⊂ P setzt man

V (I) := {x ∈ 𝕂^{n}; p(x) = 0 für alle p ∈ I}.

Sei T := {A ⊂ 𝕂^{n}; es gibt ein I ⊂ P mit A = ∁_{𝕂^{n}}V (I)}. Zeigen Sie:

a) T ist eine Topologie auf 𝕂^{n}, die sogenannte Zariski–Topologie.  4

b) Im Fall n = 1 stimmt T mit der cofiniten Topologie auf 𝕂 überein. Im Fall n > 1 ist für unendliches 𝕂 die cofinite Topologie auf 𝕂^{n} echt gröber als T (T_{cof} ⫋ T ). Was

gilt für endliches 𝕂?  3