Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 19. Juli 2001

Prof. Dr. A. Krieg, A. Marschner

13. Übung zur Analysis IV

Abgabe: Freitag, 10.08.2001, 12.00 Uhr

Aufgabe 1 (je 2 Punkte): Man bestimme die Residuen der folgenden Funktionen in allen ihren Singularitäten:

a)

\frac{1 − cos z}{z^{2}} ,

b)

\frac{1}{(z^{2} + 1)^{3}} ,

c)

z exp (\frac{1}{1 − z} ) ,

d)

\frac{1}{sin(πz)}.

Aufgabe 2 (3+3 Punkte): Seien f, g holomorph in a ∈ ℂ. Man zeige:

a) Hat g in a eine Nullstelle 1. Ordnung, so gilt

Res_{a} (\frac{f}{g^{2}} ) = \frac{f′(a)g′(a) − f(a)g′′(a)}{(g′(a))^{3}}.

b) Hat g in a eine Nullstelle 2. Ordnung, so gilt

Res_{a} (\frac{f}{g} ) = \frac{6f′(a)g′′(a) − 2f(a)g′′′(a)}{3(g′′(a))^{2}}.

Aufgabe 3 (je 3 Punkte): Man berechne für a ∈ (0; 1):

a)

∫_{0}^{2π} \frac{cos(2t)}{1 − 2a cos(t) + a^{2}} dt,

b)

∫_{−∞}^{∞} \frac{cos(πx)}{x^{2} + 2x + 5} dx,

∫_{0}^{∞} \frac{x^{4}}{x^{6} + 1} dx,

d)

∫_{−∞}^{∞} \frac{x^{2} cos x}{x^{4} − 1} dx .

Aufgabe 4 (4+3 Punkte)

a) Sei 0 ≠ w ∈ ℂ. Es sei f eine in dem Gebiet

T_{w} = \{z ∈ ℂ; a < Im (\frac{2π}{w} z) < b\}

holomorphe Funktion mit der Periode w, d. h. f(z + w) = f(z) für alle z ∈ ℂ. Zeigen Sie: Dann besitzt f eine eindeutige Darstellung als Fourier-Reihe

f(z) = ∑_{n=−∞}^{∞} a_{n} exp(\frac{2πi}{w}nz),

die auf T_{w} lokal gleichmäßig gegen f konvergiert. Für z_{0} ∈ T_{w} und n ∈ ℤ gilt:

a_{n} = \frac{1}{w} ∫_{[z_{0};z_{0}+w]} f(ζ) exp (−\frac{2πi}{w}nζ) dζ, n ∈ ℤ.

b) Berechnen Sie die Fourier-Reihe zu \frac{1}{cos z}. Aufgabe 5 (6+2 Punkte):

a) Sei R(x) eine auf ℝ_{+} polstellenfreie, rationale Funktion mit R(0) ≠ 0 und

lim_{x→∞} x^{λ}|R(x)| = 0,

wobei λ ∈ ℝ ist mit λ > 0. Ist

f(z) = (−z)^{λ−1}R(z), z ∈ ℂ \ ℝ_{+}

mit (−z)^{λ−1} := exp((λ − 1) Log(−z)), dann gilt

∫_{0}^{∞} x^{λ−1}R(x) dx = \frac{π}{sin(λπ)} ∑_{a∈ℂ\ℝ_{+}} Res_{a}(f).

b) Mit a ∈ ℝ_{+}^{∗} berechne man das Integral ∫_{0}^{∞} \frac{x^{λ−1}}{x+a} dx . Hinweis: Man betrachte ein Integrationsgebiet wie in der Skizze und lasse r → ∞ gehen.

Aufgabe 6* (10* Punkte): Sei ζ(s) die Riemannsche Zetafunktion und Ψ(s) = (1−2^{1−s})ζ(s) für Re(s) > 1. (wohldefiniert?) Man zeige:

a)

ζ(s) = \frac{1}{Γ(s)} ∫_{0}^{∞} \frac{t^{s−1}}{e^{t} − 1} dt für Re(s) > 1.

b)

Ψ(s) = \frac{1}{Γ(s)} ∫_{0}^{∞} \frac{t^{s−1}}{e^{t} + 1} dt für Re(s) > 1.

c) Die Integraldarstellung aus b) stellt eine holomorphe Funktion dar für Re(s) > 0.

d) ζ(s) lässt sich in die Halbebene Re(s) > 0 meromorph fortsetzen und hat höchstens Pole in s = 1 oder s = 1 ± \frac{2kπi}{log 2} für k ∈ ℤ.

e) Führe die Aufgabenteile b)-e) für (1 − 3^{1−s})ζ(s) durch.

f) ζ(s) hat genau einen Pol in {s; Re(s) > 0} und zwar bei s = 1. Hinweis: \frac{log 3}{log 2} ist irrational.

Bemerkung: Die Reihendarstellung von Ψ(s) konvergiert genau für Re(s) > 0, was aber nicht ganz so einfach zu zeigen ist. Sie konvergiert genau für Re(s) > 1 absolut. ζ(s) lässt sich mit Hilfe einer Funktionalgleichung auf ganz ℂ meromorph fortsetzen. Sie hat bei s = 1 ihren einzigen Pol, der einfach ist. Das Residuum ist 1. Die (noch unbewiesene) Riemannsche Vermutung besagt, dass alle nichttrivialen Nullstellen (also nicht die einfachen Nullstellen in z ∈ −2ℕ) auf der Geraden Re(s) = 1/2 liegen. Bekannt ist (siehe Analytische Zahlentheorie), dass alle sonstigen Nullstellen im Streifen 0 < Re(s) < 1 liegen. Zusätzlich bewiesen ist, dass unendlich viele Nullstellen von ζ(s) auf der Geraden Re(s) = \frac{1}{2} liegen.