Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 05. Juli 2001

Prof. Dr. A. Krieg, A. Marschner

11. Übung zur Analysis IV

Abgabe: Freitag, 13.07.2001, 13.00 Uhr

Aufgabe 1 (6 Punkte): Sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und f : G → ℂ holomorph auf G mit f(z) ≠ 0 für alle z ∈ G. Man zeige die Äquivalenz der folgenden Aussagen:

a) \frac{f′}{f} hat eine Stammfunktion auf G.

b) Es existiert ein holomorpher Logarithmus von f auf G.

Aufgabe 2 (2+6+6* Punkte): Gegeben sei ein komplexes Polynom n-ten Grades

p_{n}(z) = ∑_{k=0}^{n} c_{k}z^{k}, n ≥ 0.

a) Hat f in a eine isolierte Singularität, so hat auch p_{n}(f) und exp(f) eine isolierte Singularität in a.

b) Bestimmen Sie, welche Art von Singularität p_{n}(f) in a besitzt, falls f in a eine

(i) eine hebbare Singularität,

(ii) einen Pol der Ordnung l ≥ 1,

(iii) eine wesentliche Singularität,

hat.

c^{∗}) Bestimmen Sie, welche Art von Singularität exp(f) in a besitzt, falls f in a eine

(i) eine hebbare Singularität,

(ii) einen Pol der Ordnung l ≥ 1,

(iii) eine wesentliche Singularität,

hat.

Aufgabe 3 (je 2 Punkte): Bestimmen Sie die Laurententwicklungen der folgenden Funktionen um die angegebenen Singularitäten. Geben Sie den Konvergenzbereich jeder Reihe an, und entscheiden Sie, um welche Singularitäten es sich handelt:

a) \frac{e^{2z}}{(z−1)^{3}} , z = 1,

b) \frac{z−sin z}{z^{3}}, z = 0,

c) \frac{Log(1+z)}{z}, z = 0.

Aufgabe 4 (4 Punkte) Man entwickle die Funktion

f(z) = \frac{2}{z^{2} − 4z + 3}

in eine Laurentreihe um z = 0 für

a) 1 < |z| < 3,

b) 0 < |z| < 1,

c) |z| > 3.

Aufgabe 5* (8* Punkte): Man überlege sich, ob die folgende Aussage gilt: Sei Γ = ∑_{j=1}^{r} n_{j}γ_{j} ein Zyklus in einem Gebiet G ⊂ ℂ mit γ_{j} : [a_{j}; b_{j}] → ℂ stetig diffenrenzierbar. Für ein z ∈ G gilt dann

n_{Γ} = − ∑_{j=1}^{r} n_{j} ∑_{\begin{matrix}t∈[a_{j};b_{j}) \\ γ_{j}(t)∈z+ℝ_{−} \end{matrix}} sgn Im γ′_{j}(t).