Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 21. Juni 2001

Prof. Dr. A. Krieg, A. Marschner

9. Übung zur Analysis IV

Abgabe: Freitag, 29.06.2001, 13.00 Uhr

Aufgabe 1 (7 Punkte): Sei D = {z ∈ ℂ; z ≠ −k, k ∈ ℕ_{0}}, und auf D sei die folgende Funktion gegeben:

f(z) = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{1}{k!(z + k)} + ∫_{1}^{∞} e^{−t}t^{z−1}dt.

Beweisen Sie:

a) f ist auf D wohldefiniert.

b) f ist auf D holomorph.

c) f(z) stimmt für alle z ∈ ℂ mit Re(z) > 0 mit der komplexen Gammafunktion Γ(z) überein.

d) Es giltf f(z + 1) = zf(z) für alle z ∈ D.

Aufgabe 2 (5 Punkte): Es sei G ein konvexes Gebiet in ℂ, und (f_{n})_{n≥1} eine Folge von Funktionen f_{n} : G ⟶ ℂ, die lokal gleichmäßig gegen eine Funktion f konvergiert. Desweiteren haben die f_{n} alle eine Stammfunktion F_{n}. Zeigen Sie, dass dann auch f eine Stammfunktion besitzt. Gilt diese Aussage auch für nicht-konvexe Gebiete?

Aufgabe 3 (3+3 Punkte):

a) Man bestimme das Maximum (und wo es angenommen wird) von |f(z)| mit f(z) = z^{2}+z−1 für |z| ≤ 1, Rez ≥ 0.

b) Die Funktion g : K_{2}(0) → ℂ, K_{2}(0) := \{z ∈ ℂ; |z| ≤ 2\} sei holomorph mit g(\frac{1}{n}) = \frac{1}{n^{3}} , n ∈ ℕ. Man bestimme das Maximum von |g(z)| auf K_{2}(0) und die Stellen, an denen es angenommen wird.

Aufgabe 4 (4 Punkte) Für ein offenes Dreieck Δ zeige man:

n_{∂Δ}(z) = \{ \begin{matrix}1 , & z ∈ Δ \\ 0 , & z ∈ ℂ\\overline{Δ} \end{matrix} .

Aufgabe 5 (L, 3+3 Punkte):

a) Gegeben sei für a, b > 0 die Ellipse

E := \{z = x + iy ∈ ℂ; \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} < 1\}.

Geben Sie eine Parametrisierung eines Zyklus γ an, so dass gilt:

n_{γ}(z) = \{ \begin{matrix}5 , & z ∈ E \\ 0 , & z ∈ ℂ\\overline{E} \end{matrix} .

b) Sei γ ein geschlossener Weg in ℂ\{0} und sei g : ℂ → ℂ gegeben durch g(z) = z^{k}, k ∈ ℕ. Man zeige: n_{g∘γ}(0) = k · n_{γ}(0).

Aufgabe 6 (Das komplexe Potential) (2+3+4*) Man deutet eine holomorphe Funktion f(z) = u(x, y) + iv(x, y) im Gebiet G als komplexes Potential eines ebenen, in G wirbel- und quellenfreien Strömungsfeldes mit reellem Potential u(x, y), Äquipotentiallinien u(x, y) = const und den Stromlinien v(x, y) = const. Das Strömungsfeld (Geschwindigkeitsfeld) q̂(x, y) = (u_{x}, u_{y})^{t} hat die komplexe Darstelllung q = q_{1} + iq_{2}.

a) Wo befinden sich Staupunkte? Man drücke q mit Hilfe von f aus.

b) Man zeige, dass die Äquipotentiallinien und Stromlinien in Nichtstaupunkten orthogonal sind. Dazu zeige man zunächst:

Satz: Sei G ein Gebiet und f : G → ℂ holomorph mit f′(z) ≠ 0 in G. Dann ist f konform, d. h. winkeltreu und orientierungstreu, d. h. der Schnittwinkel zwischen zwei stetig diffbaren Kurven durch z ∈ G ist samt Drehsinn der gleiche wie für die beiden Bildkurven durch f(z). Dabei sei für zwei stetig diffbare Wege im Schnittpunkt z_{0} (γ_{1}(0) = γ_{2}(0) = z_{0}) der (orientierte) Winkel als ∡(γ_{1}, γ_{2}) := arg \frac{γ′_{2}(0)}{γ′_{1}(0)} definiert.

c) Man berechne und skizziere Geschwindigkeitsfeld, Potentiallinien und Stromlinien für

(i) (Parallelströmung)

f : ℂ → ℂ, f(z) = v_{0}e^{−iα}z, v_{0}, α ∈ ℝ

(ii) (Quellströmung)

f : ℂ \ {a} → ℂ, f(z) = k Log(z − a), k > 0

(iii) (Zirkulationsströmung)

f : ℂ \ {a} → ℂ, f(z) = −ki Log(z − a), k > 0

(iv) (Dipolströmung)

f : ℂ \ {0} → ℂ, f(z) = z^{−1}.