Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 13. Juni 2001

Prof. Dr. A. Krieg, A. Marschner

8. Übung zur Analysis IV

Abgabe: Freitag, 22.06.2001, 13.00 Uhr

Aufgabe 1 (2+2 Punkte):

a) Sei f(z) holomorph auf dem Kreis K_{R}(0), R > 0. Zeigen Sie, dass die Funktion M(r) := max_{|z|=r} |f(z)| streng monoton in r, 0 < r < R, wächst, sofern f(z) nicht konstant ist.

b) Sei f eine ganze Funktion mit Re(f(z)) > 0 für alle z ∈ ℂ. Zeigen Sie, dass f konstant ist.

Aufgabe 2 (4 Punkte):

Die Potenzreihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} habe den Konvergenzradius R > 0. Welchen Konvergenzradius haben

die Potenzreihen ∑_{n=0}^{∞} \frac{a_{n}}{n!} z^{n} und ∑_{n=1}^{∞} \frac{a_{n}}{n} z^{n} ?

Aufgabe 3 (4 Punkte): Man bestimme die ersten fünf Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} für e^{\frac{z}{1−z}} und sin(\frac{1}{1−z}).

Aufgabe 4 (5 Punkte) Die Funktion f(z) sei im Kreise K_{1}(0) holomorph und stetig auf \overline{K_{1}(0)}, und es gelte

lim_{r↑1} f(re^{iθ}) = 0

gleichmäßig in einem Sektor α < θ < β. Beweisen Sie, dass dann f(z) auf \overline{K_{1}(0)} identisch verschwindet. (Tip: Betrachte die Funktion f(z)f(ωz)f(ω^{2}z) … f(ω^{n−1}z) mit ω = exp(2πi/n) und n ∈ ℕ genügend groß.)

Aufgabe 5 (L, 2+3+3+1): Seien z_{0} ∈ ℂ und

M = {f : U → ℂ; U offene Umgebung von z_{0}, f holomorph}

die Menge der in z_{0} holomorphen Funktionen.

a) Für f : U → ℂ und g : V → ℂ aus M definiert man

f ∼ g ⇔ Es existiert ein r > 0 mit f|_{K_{r}(z_{0})} = g|_{K_{r}(z_{0})}.

Zeigen Sie, dass dadurch eine Äquivalenzrelation auf M gegeben wird.

Mit R := M/ ∼ = {[f]; f ∈ M} bezeichnen wir den Raum der Äquivalenzklassen, den so genannten Raum der holomorphen Funktionskeime. b) Zeigen Sie, dass R mit den Verknüpfungen

[f] + [g] := [f + g], [f] ∘ [g] := [fg], α[f] := [αf]

zu einer kommunikativen ℂ-Algebra mit Einselement wird.

c) Zeigen Sie, dass R ein lokaler Ring ist, in dem jedes Ideal außer {0} die Form I_{n} = ([z − z_{0}]^{n}), n ∈ ℕ_{0}, hat. I_{1} ist das eindeutig bestimmte maximale Ideal mit R/I_{1} ≅ ℂ.

d) Bestimmen Sie die Einheiten von R. Dabei heisst ein kommutativer Ring mit Eins lokal, falls er genau ein maximales Ideal besitzt.