Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 17. Mai 2001

Prof. Dr. A. Krieg, A. Marschner

5. Übung zur Analysis IV

Abgabe: Freitag, 25.05.2001, 13.00 Uhr

Aufgabe 1 (3+3+4* Punkte):

a) Beweisen Sie die folgende l’Hospitalsche Regel: Für zwei in z_{0} komplex differenzierbare Funktionen f, g : ℂ → ℂ mit f(z_{0}) = g(z_{0}) = 0 und g′(z_{0}) ≠ 0 gilt

lim_{z→z_{0}} \frac{f(z)}{g(z)} = \frac{f′(z_{0})}{g′(z_{0})}.

b) Sei f : ℂ → ℂ, z ↦ z^{3}. Man beweise, dass für alle ξ auf der Strecke Sp [1, i] gilt:

\frac{f(i) − f(1)}{i − 1} ≠ f′(ξ),

d. h. für Funktionen f : ℂ → ℂ gilt der Mittelwertsatz der Differentialrechnung nicht.

c^{∗}) Man gebe eine komplexe Version des verallgemeinerten Mittelwertsatzes aus der Analysis II Übung 11 Aufgabe 1c) für holomorphe Funktionen an, indem man zu f̃ übergeht, und beweise diesen Satz.

Aufgabe 2 (4+4 Punkte):

a) Gelten auch in ℂ die reellen Beziehungen (wobei z, z_{1}, z_{2} ∈ ℂ^{∗}, k ∈ ℤ)

Log(z_{1}z_{2}) = Log(z_{1}) + Log(z_{2}),
Log (\frac{z_{1}}{z_{2}} ) = Log(z_{1}) − Log(z_{2}),
Log(z^{k}) = k · Log z ?

Wie lauten die optimalen Aussagen analog zu (4.5) e).

b) Für z ∈ ℂ sei die Menge log z definiert als

log z := {w ∈ ℂ; w = Log z + 2kπi, k ∈ ℤ}.

Zeigen Sie, dass für diese Mengen log z die Gleichheiten

log(z_{1}z_{2}) = log(z_{1}) + log(z_{2}),
log (\frac{z_{1}}{z_{2}} ) = log(z_{1}) − log(z_{2}),
log(z^{k}) = {w ∈ ℂ; w = k Log z + 2πim, m ∈ ℤ},

gelten. Insbesondere mache man sich klar, dass i. A. log(z^{k}) ≠ k log z.

Aufgabe 3 ((6+3*)+3+4 Punkte):

a) Der Menge D ⊂ ℂ_{−} ordnet man die Menge

D̂ := \{\binom{r}{φ} ∈ ℝ_{+}^{∗} × (−π; π); re^{iφ} ∈ D\}

zu. Vermöge dieser Abbildung ist jedem z ∈ ℂ_{−} ein ẑ ∈ ℝ_{+}^{∗} × (−π; π) zugeordnet. (Zusatzteil: Man mache sich klar, ob die Aussagen aus Bemerkung (1.2) für diese Darstellung des ℂ_{−} gelten. Weswegen wurde nur ℂ_{−} benutzt?) Sei nun D, W ⊂ \{z ∈ ℂ; Re z > 0\}. Damit sind Ŵ und D̂ eine Teilmenge von ℝ_{+}^{∗}×(−\frac{π}{2}; \frac{π}{2}). Zu einer Funktion f : D → W betrachte man die zugeordnete Abbildung

f̂: D̂ → Ŵ, \binom{r}{φ} ↦ \binom{Re f(re^{iφ})}{Im f(re^{iφ})} =: \binom{R cos Φ}{R sin Φ}.

Man zeige, dass dann die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen die Form

\frac{r}{R} \frac{∂R}{∂r} = \frac{∂Φ}{∂φ},
\frac{1}{R} \frac{∂R}{∂φ} = −r\frac{∂Φ}{∂r}

annehmen, sofern die partiellen Ableitungen existieren.

b) Man prüfe, ob die Funktion f : D → ℂ gegeben durch

f(z) := exp (−\sqrt{x^{2} + y^{2}} e^{− arctan \frac{y}{x}} )
· \{cos (\sqrt{x^{2} + y^{2}} e^{− arctan \frac{y}{x}} ) + i sin (\sqrt{x^{2} + y^{2}} e^{− arctan \frac{y}{x}} )\}

auf D := \{z ∈ ℂ; Re(z) > 0 und 0 < |z| < \frac{π}{2}e^{− \frac{π}{2}} \} die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen erfüllt.

c) Man bestimme alle ganzen Funktionen f mit Re(f(x + iy)) = ax^{2} + by^{2} + cxy + d mit a, b, c, d ∈ ℝ.