Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 10. Mai 2001

Prof. Dr. A. Krieg, A. Marschner

4. Übung zur Analysis IV

Abgabe: Freitag, 18.05.2001, 13.00 Uhr

Aufgabe 1 (5 Punkte): Sei f : ℂ → ℂ definiert durch

f(z) := \{ \begin{matrix}\frac{x^{3} + iy^{3}}{x^{2} + y^{2}} , & falls z = x + iy ≠ 0 \\ 0 , & falls z = 0. \end{matrix}

In welchen Punkten sind die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen erfüllt? In welchen Punkten ist f komplex differenzierbar?

Aufgabe 2 (4 Punkte): Zeige, dass f : ℂ → ℂ gegeben durch

f(z) := \{ \begin{matrix}z^{2} , & z ∈ ℝ \\ 0 , & z ∈ ℂ\ℝ \end{matrix}

in z = 0 komplex differenzierbar, aber nicht holomorph ist.

Aufgabe 3 (4+4 Punkte): Man bestimme bei den folgenden Abbildungen das Bild f(G) und überprüfe, ob die Abbildungen f : G → f(G) biholomorph sind.

a) f(z) = z^{2} und G = {z ∈ ℂ; Re(z) > 0},

b) f(z) = 1 − \frac{4z}{(1+z)^{2}} und G = K_{1}(0).

Aufgabe 4 (2+2+1+1+2+2+2+2 Punkte): Sei U ⊂ ℂ offen. Man zeige für f, g : U → ℂ zwei mal reell differenzierbare Funktionen, φ : ℝ → ℂ eine differenzierbare Funktion die folgenden Rechenregeln für die Wirtingerableitungen:

a) \frac{∂}{∂z} und \frac{∂}{∂z̄} erfüllen die Produktregel ((fg)′ = f′g + g′f).

b) \frac{∂f}{∂z} = \overline{\frac{∂f̄}{∂z̄}} und \frac{∂f}{∂z̄} = \overline{\frac{∂f̄}{∂z}}.

c) Ist f reell, so ist \frac{∂f}{∂z} = \overline{\frac{∂f}{∂z̄}}.

d) Ist f holomorph, so gilt \frac{∂f}{∂z̄} = 0, ist f̄ holomorph, so gilt \frac{∂f}{∂z} = 0.

e) \frac{∂z}{∂z} = 1, \frac{∂z̄}{∂z} = 0, \frac{∂z}{∂z̄} = 0, \frac{∂z̄}{∂z̄} = 1.

f) \frac{∂^{2}f}{∂z∂z̄} = \frac{1}{4}Δf = \frac{1}{4} (\frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} ).

g) \frac{∂(g∘f)}{∂z} = (\frac{∂g}{∂z} ∘ f) \frac{∂f}{∂z} + (\frac{∂g}{∂z̄} ∘ f) \frac{∂f̄}{∂z}.

h) \frac{∂(f∘φ)}{∂t} = (\frac{∂f}{∂z} ∘ φ) \frac{∂φ}{∂t} + (\frac{∂f}{∂z̄} ∘ φ) \frac{∂φ̄}{∂t}.