Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 03. Mai 2001

Prof. Dr. A. Krieg, A. Marschner

3. Übung zur Analysis IV

Abgabe: Freitag, 11.05.2001, 13.00 Uhr

Aufgabe 1 (3+3 Punkte): Man berechne mit Hilfe des Satzes von Stokes die folgenden Integrale, wobei man besonderen Wert auf die Voraussetzungen lege.

a)

∫_{∂A} 2y dx − 2x dy + z^{2}x dz

für ∂A = {(x, y, z)^{tr} ∈ ℝ^{3}; x = cos t, y = sin t, z = 5, 0 ≤ t ≤ 2π}.

b)

∫_{∂A} yz^{2} dx + (xz^{2} − 2y) dy + 2xyz dz

für ∂A = {(x, y, z)^{tr} ∈ ℝ^{3}; x = cos t, y = sin t, z = cos t, 0 ≤ t ≤ 2π}.

Aufgabe 2 (3+3 Punkte):

a) Sei U ⊂ ℝ^{3} konvex, offen und F = (F_{1}, F_{2}, F_{3})^{t} : U → ℝ^{3} stetig differenzierbar. Dann sind äquivalent:

(i) F ist ein Gradientenfeld auf U.

(ii) rot F = 0 auf U.

b) Gilt die Aussage von a) auch, falls U nicht konvex ist?

Aufgabe 3 (3+3+3 Punkte): Konstruieren Sie jeweils komplexe Folgen (z_{k})_{k∈ℕ} mit den folgenden Eigenschaften a) oder b) oder c):

a) (z_{k})_{k∈ℕ} besitzt keinen (endlichen) Häufungspunkt.

b) z_{k} ∈ K_{1}(0) = {z; |z| < 1}, k ∈ ℕ, und die Häufungspunkte von (z_{k})_{k∈ℕ} sind genau die Punkte von K_{1}(0).

c) Jede komplexe Zahl ist Häufungspunkt von (z_{k})_{k∈ℕ}.

Aufgabe 4 (6 Punkte): Zeigen Sie für alle x, y ∈ ℝ

Re cos(x + iy) = cos x · cosh y,
Im cos(x + iy) =− sin x · sinh y,
Re sin(x + iy) = sin x · cosh y,
Im sin(x + iy) = cos x · sinh y,
| sin(x + iy) | ≤ cosh y,
| cos(x + iy) | ≤ sinh |y|.

Aufgabe 5 (3+3 Punkte): Zeigen Sie:

a) Die Potenzreihe ∑_{n=0}^{∞} z^{n!}, z ∈ ℂ, hat den Konvergenzradius 1 und divergiert in jedem Punkt

z ∈ ℂ mit |z| = 1.

b) Geben Sie eine komplexe Potenzreihe an, die genau in den Punkten z ∈ ℂ, |z| ≤ 1 absolut konvergiert.