Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 26. April 2001

Prof. Dr. A. Krieg, A. Marschner

2. Übung zur Analysis IV

Abgabe: Freitag, 04.05.2001, 13.00 Uhr

Aufgabe 1 (3+3+3 Punkte):

a) Man zeige, dass der Satz von Gauß auch für Quader im ℝ^{2} gilt.

b) Man berechne mit dem Satz von Gauß für A = [−1; 1] × [1; 6] das folgende Integral

∫_{∂A} −\frac{1}{2}y^{2}e^{x} dx + ye^{x} dy.

c) Man berechne mit dem Satz von Gauß für A = {(x, y)^{t} ∈ ℝ^{2}; x^{2} + y^{2} ≤ 5} das folgende Integral

∫_{∂A} x^{2}y dx + (2x − y + 2) dy.

Aufgabe 2 (3 Punkte): Sei B ⊂ ℝ^{2} ein Kompaktum mit glattem Rand. Zeigen Sie:

λ^{\} (B) = \{ \begin{matrix}∫_{∂B} x dy, \\ − ∫_{∂B} y dx, \\ \frac{1}{2} ∫_{∂B} x dy − y dx. \end{matrix}

Aufgabe 3* (4* Punkte): Sei B ⊂ ℝ^{n} ein Kompaktum mit der folgenden Eigenschaft: Für alle ε > 0 existiert ein Kompaktum B_{ε} mit glattem Rand mit λ^{\} (BΔB_{ε}) < ε. Zeigen Sie: Für alle F : U → ℝ^{n}, U offen, U ⊂ ℝ^{n}, B, B_{ε} ⊂ U gilt:

∫_{B} div F dλ^{\}_{n} = lim_{ε→0} ∫_{∂B_{ε}} < F, ν_{ε} > dS_{n−1},

wobei ν_{ε} das äußere Normaleneinheitsfeld von B_{ε} bezeichne. Dabei ist AΔB := (A\B) ∪ (B\A).

Aufgabe 4 (4 Punkte): Sei A ⊂ ℝ^{n} kompakt mit glattem Rand und ν : ∂A → ℝ das äußere Normaleneinheitsfeld. Sei U ⊂ ℝ^{n} offen mit A ⊂ U und seien f, g : U → ℝ zweimal stetig differenzierbar. Man beweise die folgende Greensche Formel:

∫_{A} < grad f, grad g > dλ^{\}_{n} + ∫_{A} f · Δg dλ^{\}_{n} = ∫_{∂A} f· < grad g, ν > dS_{n−1}.

Aufgabe 5 (6 Punkte): Sei S_{n}^{+} die folgende Teilmenge der Einheitsspäre im ℝ^{n}:

S_{n}^{+} := {x ∈ ℝ^{n}; ∥x∥_{2}^{2} = 1 und x_{i} ≥ 0 für i = 1, …, n} .

Für p_{i} ∈ ℝ_{+} für i = 1, …, n zeige man

∫_{S_{n}^{+}} x_{1}^{p_{1}} · . . . · x_{n}^{p_{n}} dS_{n−1}(x) = \frac{Γ (\frac{p_{1}+1}{2}) · . . . · Γ (\frac{p_{n}+1}{2})}{2^{n−1}Γ (\frac{p_{1}+...+p_{n}+n}{2})}.

Hinweis: Berechne Sie das Integral

∫_{ℝ_{+}^{n}} x_{1}^{p_{1}} · . . . · x_{n}^{p_{n}}e^{−∥x∥_{2}^{2}} dλ^{\}_{n}

auf zwei verschiedene Arten.