Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 17. April 2001

Prof. Dr. A. Krieg, A. Marschner

16. Übung zur Analysis III 0. Übung zur Analysis IV

Abgabe: Freitag, den 20.04.2001, 12.00 Uhr

Diese Übung ist klausurrelevant für Analysis IV. Vorgerechnet wird diese Übung in der Übung am 25.04.2001 um 15.45-17.15 Uhr. Weitere Informationen zu Analysis IV stehen auf dem 1. Übungsblatt.

Aufgabe 1 (5* Punkte) Die Funktionen f, g : ℝ^{3} → ℝ seien definiert durch

f((x, y, z)^{tr}) := x^{2} + xy − y − z, g((x, y, z)^{tr}) := 2x^{2} + 3xy − 2y − 3z.

Man zeige, dass

M := {(x, y, z)^{tr} ∈ ℝ^{3}; f((x, y, z)^{tr}) = g((x, y, z)^{tr}) = 0}

eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit des ℝ^{3} ist und dass

φ : ℝ → ℝ^{3}, φ(t) := (t, t^{2}, t^{3})^{tr}

eine (globale) Parameterdarstellung von M ist.

Aufgabe 2 (5* Punkte) Die Funktionen f_{i} : ℝ^{4} → ℝ, i = 1, 2, 3, seien definiert durch

f_{1}((x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})^{tr}) := x_{1}x_{3} − x_{2}^{2},
f_{2}((x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})^{tr}) := x_{2}x_{4} − x_{3}^{2},
f_{3}((x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})^{tr}) := x_{1}x_{4} − x_{2}x_{3}.

Man zeige, dass

M := {x ∈ ℝ^{4}\{0}; f_{1}(x) = f_{2}(x) = f_{3}(x) = 0}

eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des ℝ^{4} ist.

Aufgabe 3 (2*+3* Punkte) Man berechne Maßtensoren und Gramsche Determinanten zu den folgenden Karten.

a) φ : (0; ∞) → V ⊂ M ⊂ ℝ^{2} mit φ(t) = (t, e^{t})^{tr}, M := {(x, y)^{tr} ∈ ℝ^{2}; e^{x} − y = 0}.

b) φ : ℝ × (0; π/2) → V ⊂ M ⊂ ℝ^{3} mit φ(t_{1}, t_{2}) = (t_{1}, sin t_{2}, 2t_{1} sin t_{2})^{tr}, M := {(x, y, z)^{tr} ∈ ℝ^{3}; 2xy − z = 0}.

Aufgabe 4 (4* Punkte) Gegeben sei die Karte

φ : (r; R) × (0; H) → ℝ^{3}, 0 < r < R < ∞, H > 0,

durch

φ(t_{1}, t_{2}) = (t_{1} cos t_{2}, t_{1} sin t_{2}, ht_{2})^{tr}, h > 0.

Man berechne die Fläche der 2–dimensionalen Wendelfläche, die durch diese Karte beschrieben wird.

Aufgabe 5 (3* Punkte) Es sei A die bzgl. der Polarkoordinaten (t_{1}, t_{2}) auf der Einheitssphäre S_{2} ⊂ ℝ^{3} ( vgl. Beispiel (2.4) für die genauen Definitionen der Polarkoordinaten und der Menge S_{2}) durch die Ungleichungen

φ_{1} ≤ t_{1} ≤ φ_{2}, θ_{1} ≤ t_{2} ≤ θ_{2}

gegebene Teilmenge (0 ≤ φ_{1} < φ_{2} ≤ 2π, 0 ≤ θ_{1} < θ_{2} ≤ π). Man berechne ihre Fläche.

Aufgabe 6 (5* Punkte) Man berechne die Fläche des Rotationsellipsoids

M := \{(x, y, z)^{tr} ∈ ℝ^{3}; (\frac{x}{a})^{2} + (\frac{y}{a})^{2} + (\frac{z}{b} )^{2} = 1\} , a, b > 0.

Aufgabe 7 (5* Punkte) Sei M eine k–dimensionale Untermannigfaltigkeit und A ⊂ M eine integrierbare Teilmenge. Sei

F : ℝ^{n} → ℝ^{n}, F (x) := T x + q

eine Bewegung (q ∈ ℝ^{n} und T ∈ O(n) eine orthogonale Matrix). Man zeige, dass F (A) eine integrierbare Teilmenge der Untermannigfaltigkeit F (M) ⊂ ℝ^{n} ist mit

vol_{k}(F (A)) = vol_{k}(A).