Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 23.06.2000

Prof. Dr. R. Stens Dipl.-Math. F. Bühler, Dipl.-Math. A. Haß

9. Übung zur Vorlesung Topologie

(Abgabe: Freitag, 30.06.2000, bis 11.45 Uhr im Übungskasten)

Aufgabe 1:

a) Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen wegzusammenhängende Teilmengen von M_{n}(ℝ) ≅ ℝ^{n^{2}} mit der natürlichen Topologie sind:

i) die Menge P_{n}(ℝ) der positiv definiten Matrizen,

ii) die Gruppe SO_{n}(ℝ) = {U ∈ M_{n}(ℝ) ; UU^{t} = E, det U = 1},

iii) die Menge N_{n}(ℝ) der nilpotenten Matrizen in M_{n}((ℝ),

iv) die Menge D_{n}(ℝ) der diagonalisierbaren Matrizen über ℝ.  8
b) Wie sehen die Zusammenhangskomponenten der O_{n}(ℝ) aus?  2

c) i) Zeigen Sie, dass die Gruppe GL_{n}(ℂ) der invertierbaren Matrizen über ℂ eine offene, wegzusammenhängende Teilmenge von M_{n}(ℂ) ≅ ℂ^{n^{2}} mit der natürlichen Topologie ist.

ii) Bleibt die Aussage in i) richtig, wenn man ℂ durch ℝ ersetzt?  6

Aufgabe 2:

a) Seien (X, T ), (X, T′) zwei topologische Räume, T feiner als T′ und Y ⊂ X. Zeigen Sie: Ist Y als Unterraum von (X, T ) zusammenhängend, so ist Y auch

als Unterraum von (X, T′) zusammenhängend.  3

b) Zeigen Sie: Die natürliche Topologie T auf ℝ^{n} (ℂ^{n}) ist feiner als die Zariski– Topologie T_{Z} auf ℝ^{n} (ℂ^{n}). Folgern Sie:

(ℝ^{n}, T_{Z}) , (ℂ^{n}, T_{Z}) sind zusammenhängend .

3

Aufgabe 3: Seien (X, T ), (Y, T′) topologische Räume und (Y, T′) hausdorffsch. Weiter seien f, g : X → Y stetige Abbildungen. Zeigen Sie:

a) {x ∈ X; f(x) = g(x)} ist abgeschlossen in X.  2
b) {(x_{1}, x_{2}) ∈ X × X; f(x_{1}) = g(x_{2})} ist abgeschlossen in X × X.  2
c) Ist A dicht in X mit f(x) = g(x) für alle x ∈ A, so folgt f = g.  2
d) Graphf = {(x, f(x); x ∈ X} ist abgeschlossen in X × Y.  2
e) (X, T ) ist Hausdorffraum, falls f injektiv ist.  2

Aufgabe 4: Zeigen Sie, dass die folgenden Räume hausdorffsch sind:

a) der topologische Raum ℝ^{∗} aus Aufgabe 2, 2. Übung,

b) die obere Halbebene H aus Aufgabe 2, 2. Übung.  6

Aufgabe 5: Sei (X, T ) ein normaler, topologischer Raum und (Y, T′) ein topologischer Raum, f : X → Y eine surjektive stetige und abgeschlossene Abbildung. Man zeige:

(Y, T′) ist normal.  4

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Die Übungsblätter sind auch im Internet erhältlich unter http://www.mathA.rwth-aachen.de/lehre/SS00/Topologie