Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 09.06.2000

Prof. Dr. R. Stens Dipl.-Math. F. Bühler, Dipl.-Math. A. Haß

8. Übung zur Vorlesung Topologie

(Abgabe: Freitag, 23.06.2000, bis 11.45 Uhr im Übungskasten)

Aufgabe 1: Seien (X_{ν}, d_{ν}), ν ∈ ℕ, metrische Räume, T_{d_{ν}} die von d_{ν} auf X_{ν} induzierten Topologien und (η_{ν})_{ν∈ℕ} eine Folge positiver Zahlen, so dass ∑_{ν=1}^{∞} η_{ν} eine konvergente Reihe ist. Für x = (x_{ν})_{ν∈ℕ}, y = (y_{ν})_{ν∈ℕ} ∈ X := ∏_{ν∈ℕ} X_{ν} sei

d(x, y) := ∑_{ν=1}^{∞} η_{ν} \frac{d_{ν}(x_{ν}, y_{ν})}{1 + d_{ν}(x_{ν}, y_{ν})}.

Zeigen Sie:

a) d ist eine Metrik auf ∏_{ν∈ℕ} X_{ν}. 2 b) Die durch d induzierte Topologie T_{d} stimmt mit der Produkttopologie T der topo-

logischen Räume (X_{ν}, T_{d_{ν}}) überein.  4

Aufgabe 2: Zeigen Sie:

a) Sind (X, T ), (Y, T′) topologische Räume und A ⊂ X, B ⊂ Y, so gilt int (A × B) = (int A) × (int B). 3 b) Sind (X_{i}, T_{i}), i ∈ I, topologische Räume und A_{i} ⊂ X_{i}, i ∈ I, so gilt ∏_{i∈I}(int A_{i}) ⊃

int (∏_{i∈I} A_{i}).  4
c) In b) gilt i.A. nicht Gleichheit.  2

Aufgabe 3:

a) Λ heißt Gitter im ℝ^{n}, wenn es eine Basis b_{1}, …, b_{n} von ℝ^{n} gibt mit Λ = ℤb_{1} + … + ℤb_{n}. Wir betrachten ℝ^{n} mit der natürlichen Topologie und zwei Gitter Λ, Λ′ im ℝ^{n}.

Zeigen Sie, dass die Quotientenräume ℝ^{n}/Λ und ℝ^{n}/Λ′ homöomorph sind.  2

b) [Der Fall n = 2]. Zeigen Sie, dass der Quotientenraum ℂ/(ℤ + ℤi) homöomorph zum 2–dimensionalen Torus

T^{2} = {(z, ω) ∈ ℂ × ℂ ; |z| = |ω| = 1} = S^{1} × S^{1}
mit der Relativtopologie von ℂ × ℂ ist.  2

Aufgabe 4: Sei X ein topologischer Raum und A ⊂ X beliebig. Zeigen Sie, dass es einen topologischen Raum Y und zwei stetige Abbildungen f, g : X → Y gibt mit

{x ∈ X ; f(x) = g(x)} = A.
\underline{Hinweis:} Wählen Sie für Y einen geeigneten Quotientenraum von X × \{1, 2\}.  4