Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 26.05.2000

Prof. Dr. R. Stens Dipl.-Math. F. Bühler, Dipl.-Math. A. Haß

6. Übung zur Vorlesung Topologie

(Abgabe: Freitag, 02.06.2000, bis 11.45 Uhr im Übungskasten)

Aufgabe 1: Seien (X, T ) und (Y, T′) topologische Räume und f : X → Y stetig und surjektiv. Zeigen Sie:

a) (Y, T′) ist separabel, falls (X, T ) separabel ist.  2
b) Mit (X, T ) erfüllt auch (Y, T′) das zweite Abzählbarkeitsaxiom, falls f offen ist.  3

Aufgabe 2: Seien (X, T ) und (Y, T′) topologische Räume und f : X → Y bijektiv. Zeigen Sie die Äquivalenz der Aussagen

(i) f^{−1} ist stetig.

(ii) f ist abgeschlossen.

(iii) f ist offen.  4

Aufgabe 3: Seien (X, T ) und (Y, T′) topologische Räume. f : X → Y sei bijektiv und stetig. Zeigen Sie die Äquivalenz der Aussagen

(i) f ist Homöomorphismus.

(ii) f ist abgeschlossen.

(iii) f ist offen.

(iv) T′ = {f(G) | G ∈ T }.  6

Aufgabe 4: Sei (X, T ) ein topologischer Raum. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:

(i) T ist eine Partitionstopologie auf X.

(ii) Es existiert ein diskreter Raum Y und eine Abbildung f : X → Y, so daß T die

Initialtopologie von (f : X → Y) ist.  4

Aufgabe 5: Sei 𝕂 ein Körper, T_{n} die Zariski–Topologie auf 𝕂^{n} und p : 𝕂^{n} → 𝕂^{m} eine polynomiale Abbildung, d.h. es existieren Polynomfunktionen p_{1}, …, p_{m} : 𝕂^{n} → 𝕂 mit

p(x) = (p_{1}(x), …, p_{m}(x)) fr alle x ∈ 𝕂^{n}.
Zeigen Sie, daß p : (𝕂^{n}, T_{n}) → (𝕂^{m}, T_{m}) stetig ist.  3

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Die Übungsblätter dann auch im Internet erhältlich unter

http://www.mathA.rwth-aachen.de/lehre/SS00/Topologie