Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 19.05.2000

Prof. Dr. R. Stens Dipl.-Math. F. Bühler, Dipl.-Math. A. Haß

5. Übung zur Vorlesung Topologie

(Abgabe: Freitag, 26.05.2000, bis 11.45 Uhr im Übungskasten)

Aufgabe 1: Sei p eine Primzahl. Für 0 ≠ r ∈ ℚ sei ν(r) ∈ ℤ die durch r = p^{ν(r)} \frac{s}{t} mit zu p teilerfremden Zahlen s, t ∈ ℤ \ {0} eindeutig bestimmte Zahl. Für x, y ∈ ℚ wird nun definiert

d(x, y) := \begin{cases}0, & falls x = y, \\ p^{−ν(x−y)}, & sonst. \end{cases}

Zeigen Sie, dass (ℚ, d) ein ultrametrischer Raum ist.

Aufgabe 2: Seien (X, T ) und (Y, T′) topologische Räume und f : X → Y. Zeigen Sie die Äquivalenz der Aussagen

(i) f ist stetig.

(ii) f(\overline{A}) ⊂ \overline{f(A)} für alle A ⊂ X.

(iii) \overline{f^{−1}(B)} ⊂ f^{−1}(\overline{B}) für alle B ⊂ Y.

(iv) f^{−1}(int(B)) ⊂ int(f^{−1}(B)) für alle B ⊂ Y.  4

Aufgabe 3:

a) Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen abgeschlossene Teilmengen von M_{n}(ℝ) ≅ ℝ^{n^{2}} mit der natürlichen Topologie sind:

(i) die Menge Sym_{n}(ℝ) = {S ∈ M_{n}(ℝ); S^{t} = S} der symmetrischen Matrizen,  1

(ii) die Menge Alt_{n}(ℝ) = {A ∈ M_{n}(ℝ); A^{t} = −A} der schiefsymmetrischen

Matrizen,  1

(iii) die Gruppe O_{n}(ℝ) = {U ∈ M_{n}(ℝ); UU^{t} = U^{t}U = E} der orthogonalen

Matrizen,  1
(iv) die Gruppe SL_{n}(ℝ),  1
(v) die Menge N_{n}(ℝ) der nilpotenten Matrizen in M_{n}(ℝ).  1
b) Zeigen Sie, dass GL_{n}(ℝ) eine offene Teilmenge von M_{n}(ℝ) ist.  1

c) Zeigen Sie, dass die Menge P_{n}(ℝ) der positiv definiten Matrizen eine offene Teilmenge und die Menge P sd_{n}(ℝ) der positiv semi–definiten Matrizen eine abge-

schlossene Teilmenge von Sym_{n}(ℝ) ≅ ℝ^{n(n+1)/2} ist.  3

Aufgabe 4: Sei (X, T ) ein topologischer Raum und

Aut(X, T ) := {f : X → X; f Homöomorphismus} .

a) Zeigen Sie, dass Aut(X, T ) eine Gruppe (bezüglich der Komposition) ist. Aut(X, T )

heißt Automorphismengruppe von (X, T ).  3

b) Zeigen Sie, dass Automorphismengruppen homöomorpher topologischer Räume

isomorph sind.  2

c) Geben Sie ein Beispiel an, dass aus der Isomorphie der Automorphismengruppen

noch nicht die Homöomorphie der topologischen Räume folgt.  2

Pavel Samuilovich Urysohn^{1}

Born: 3 Feb 1898 in Odessa, Ukraine Died: 17 Aug 1924 in Batz, Bretagne, France

Pavel Urysohn entered the University of Moscow to study physics. However after attending lectures by Luzin and Egorov at the University of Moscow he began to concentrate on mathematics.

Urysohn graduated in 1919 and became an assistant professor at the University of Moscow in 1921.

Urysohn’s first work was concerned with integral equations but he soon turned to topology publishing his first publication on this topic in 1922. His reports to the Mathematical Society of Göttingen in 1923 interested Hilbert.

Urysohn collaborated with Aleksandrov and most of his important work was only published after his death at a very young age. His main results are the introduction and investigation of a class of normal surfaces, metrization theorems and the theory of dimensionality. He is remembered particuarly for ’Urysohn’s lemma’ which proves the existence of a certain continuous function taking values 0 and 1 on particular closed subsets.

In the summer of 1924 he set off on a European trip through Germany, Holland and France. He met Brouwer and Hausdorff who were impressed with Urysohn’s results. After this he continued his holiday to Brittany where he drowned off the coast.

1Aus: ‘The MacTutor History of Mathematics archive’ der University of St Andrews, Scotland.