Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 21. Juni 2000

Prof. Dr. A. Krieg, H. Hassenpflug, A. Marschner

11. Übung zur Analysis II

Abgabe: Freitag, 30.06.2000, 12.00 Uhr

Aufgabe 1 (4+2+4) (Mittelwertsatz im ℝ^{n}):

a) Seien U ⊂ ℝ^{n} offen, a, b ∈ U und f : U → ℝ eine auf U differenzierbare Funktion. Zusätzlich sei die Verbindungsstrecke S_{a,b} wie in X(3.1) definiert vollständig in U. Dann existiert ein ζ ∈ S_{a,b} mit

f(b) − f(a) =< grad f(ζ), (b − a) >

Hinweis: Man verwende den eindimensionalen Mittelwertsatz.

b) Sei F : ℝ → ℝ^{2}; t ↦ (cos t, sin t)^{t}. Man zeige, dass ein Mittelwertsatz wie in Teil a) (mit DF statt grad f) nicht gelten kann, indem man sich geeignete a und b wählt.

c) Seien U ⊂ ℝ^{n} offen, a, b ∈ G und F : U → ℝ^{m} eine auf U differenzierbare Funktion.Wie immer seien F_{1}, ⋯, F_{m} die Komponenten von F. Sind a, b ∈ U, so dass S_{a,b} ⊂ U, dann existieren ζ_{1}, ⋯, ζ_{m} ∈ S_{a,b}, so dass

F (b) − F (a) = F′[ζ_{1}, ⋯, ζ_{m}](b − a),

wobei

F′[ζ_{1}, ⋯, ζ_{m}] := (\begin{matrix}\frac{∂F_{1}(ζ_{1})}{∂x_{1}} & ⋯ & \frac{∂F_{1}(ζ_{1})}{∂x_{n}} \\ ⋮ & & ⋮ \\ \frac{∂F_{m}(ζ_{m})}{∂x_{1}} & ⋯ & \frac{∂F_{m}(ζ_{m})}{∂x_{n}} \end{matrix} )

Aufgabe 2 (2+2):

a) Man verwende das totale Differential zur näherungsweisen Berechnung von (1, 02)^{3} + (1, 99)^{3}.

b) Man bestimme alle Funktionen f : ℝ^{n} → ℝ mit grad f(x) = x für jedes x ∈ ℝ^{n}.

Aufgabe 3 (3): (Volumen eines n-dimensionalen Quaders) Berechnen Sie n-dimensionale Quader mit vorgebener Summe der Kanten mit minimalem Umfang bzw. maximalen Volumen.

Aufgabe 4 (3*):(Wirkungsverlauf von Medikamenten) Die Wirkung W (x, t), die x Einheiten eines Medikaments t Stunden nach der Einnahme auf einen Patienten haben, wird in einigen Fällen durch

W (x, t) = x^{2}(a − x)t^{2}e^{−t}

dargestellt. Bestimme die Dosis x und die Zeit t so, dass die Wirkung maximal ist.