Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 9. Juni 2000

Prof. Dr. A. Krieg, H. Hassenpflug, A. Marschner

10. Übung zur Analysis II

Abgabe: Freitag, 23.06.2000, 12.00 Uhr

Aufgabe 1 (2): Zeigen Sie, dass es keine stetig differenzierbare Funktion f : ℝ^{3} → ℝ gibt derart, dass

grad f((x, y, z)^{t}) = (y^{2}z, 2xyz, xy^{2} + y)^{t}

für alle (x, y, z)^{t} ∈ ℝ^{3} gilt.

Aufgabe 2 (3+4):

a) Es sei f : ℝ^{2} → ℝ gegeben durch

\binom{x}{y} ↦ \begin{cases}\frac{(y^{2} + x)^{4}}{2 x y} & (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & sonst \end{cases}

Man zeige, dass f im Nullpunkt nicht stetig ist, aber alle Richtungsableitungen dort verschwinden.

b) Man untersuche die Funktion

f : ℝ^{2} → ℝ, \binom{x}{y} ↦ \begin{cases}\frac{x^{2} y^{3}}{x^{4} + y^{6}} & y ≠ 0 \\ 0 & sonst \end{cases}

auf partielle bzw. totale Differenzierbarkeit im Nullpunkt und bestimme dort im Falle der Existenz alle partiellen Ableitungen bzw. das totale Differential.

Aufgabe 3 (3): Sei u = u(x, t) : ℝ^{2} → ℝ zweimal stetig partiell differenzierbar und genüge der Wärmeleitungsgleichung

\frac{∂u}{∂t} = a^{2} \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}}, (a ∈ ℝ\\{0\}).

Zeigen Sie, dass die Funktion

v = \frac{1}{a\sqrt{t}} e^{− \frac{x^{2}}{4a^{2}t}} u(\frac{x}{a^{2}t}, −\frac{1}{a^{4}t}) , (t > 0)

dann ebenfalls der Wärmeleitungsgleichung genügt.

Aufgabe 4 (2+5):

a) Man entwickle die Funktion

f : ℝ^{2} → ℝ, \binom{x}{y} ↦ x^{2} y + y^{2} x − y^{3} − 1

in eine Taylorreihe um den Punkt (1, −1)^{t}.

b) Man entwickle die Funktion

f : ℝ^{2} → ℝ, \binom{x}{y} ↦ e^{x−y} sin(x + y)

in eine Taylorreihe um den Nullpunkt. Wo konvergiert die Reihe gegen die Funktion?