Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 31. Mai 2000

Prof. Dr. A. Krieg, H. Hassenpflug, A. Marschner

9. Übung zur Analysis II

Abgabe: Freitag, 09.06.2000, 12.00 Uhr

Aufgabe 1 (4+2*): a) Man zeige explizit (also mit Hilfe der Definition), dass die Menge

M = {x ∈ ℝ^{2}; |x| ≤ 1, |y| ≤ 1, |x| + |y| < 2}

nicht kompakt ist.

b) Sei γ : (−∞; 0) → ℝ^{2}, ϕ ↦ (e^{ϕ} cos ϕ, e^{ϕ} sin ϕ). Zeigen Sie mit Hilfe der Definition, dass das Bild von (−∞; 0) unter γ nicht kompakt ist. c*) Zeichnen Sie die beiden Mengen z.B. mit Maple.

Aufgabe 2 (3): Sei (V, ∥ · ∥) ein normierter Vektorraum und K ⊂ V kompakt. Für A ⊂ K sind äquivalent:

a) A ist kompakt.

b) A ist abgeschlossen.

Aufgabe 3 (6): Sei (V, ∥ · ∥) ein normierter Vektorraum und A, B ⊂ V zwei nichtleere Mengen. Sei d(·, B) : V → ℝ definiert durch

d(x, B) = inf_{y∈B} ∥x − y∥

der Abstand des Punktes x von der Menge B und

d(A, B) := inf_{x∈A} d(x, B)

der Abstand der Mengen A und B. Man zeige:

a) d(·, B) ist (gleichmäßig) stetig.

b) Ist A kompakt, B abgeschlossen und A ∩ B = ∅, dann ist d(A, B) > 0.

c) Man gebe im Raum (ℝ^{2}, ∥ · ∥_{2}) zwei abgeschlossene Teilmengen A, B an mit A ∩ B = ∅ und d(A, B) = d_{2}(A, B) = 0.

Aufgabe 4:(4) Man zeige, dass das Gleichungssytem

3x = arctan(x + y)
5y = exp(−(x^{2} + y^{2}))

genau eine Lösung (x, y) ∈ [−1; 1] × [−1; 1] besitzt.

Aufgabe 5: (*2) Sei (V, ∥ · ∥) ein normierter Raum. Formulieren das Minoranten- bzw. Majorantenkriterium, das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium für Reihen von Vektoren aus V bezüglich der Norm ∥ · ∥.