Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 12. Mai 2000

Prof. Dr. A. Krieg, H. Hassenpflug, A. Marschner

6. Übung zur Analysis II

Abgabe: Donnerstag, 18.05.2000, 17.00 Uhr

Aufgabe 1 (2+3):

a) Man untersuche die folgenden Funktionenfolgen (f_{n})_{n≥1} auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz:

i) f_{n}(x) = \frac{1}{1 + n x}, x ∈ [0; 1],

ii) f_{n}(x) = \frac{n sin(nx)}{n^{2} + x^{2}}, x ∈ ℝ.

b) Gegeben seien die Funktionenfolgen (f_{n})_{n≥1}, (g_{n})_{n≥1} mit f_{n}, g_{n} : D → ℝ und f_{n} ⟶_{glm} f,

g_{n} ⟶_{glm} g auf D. Zeigen Sie:

i) (f_{n} + g_{n}) ⟶_{glm} (f + g) auf D.

ii) (f_{n} · g_{n})_{n≥1} ist i.a. nicht gleichmäßig konvergent auf D.

iii) Sind f und g auf D beschränkt, so gilt auch (f_{n} · g_{n}) ⟶_{glm} (f · g) auf D.

Aufgabe 2 (4):

a) Sei (f_{n})_{n≥0} eine Folge stetiger Funktionen auf D ⊂ ℝ, die gleichmäßig gegen eine Funktion f auf D konvergiert. Man zeige:

lim_{n→∞} f_{n}(x_{n}) = f(x)

für alle Folgen (x_{n})_{n≥1} mit x_{n} ∈ D (n ∈ ℕ) und lim_{n→∞} x_{n} = x, x ∈ D.

b) Man zeige:

lim_{n→∞} ∑_{k=0}^{n} \frac{2^{k}}{k!} (\frac{n}{n + 2})^{k} = e^{2}.

Aufgabe 3 (2+3):

a) Gegeben sei die Funktionenfolge f_{n}(x) = n x e^{−nx} auf [0; 1]. Man überprüfe die Beziehung

∫_{0}^{1} lim_{n→∞} f_{n}(x) dx = lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} f_{n}(x) dx.

b) Überprüfen sie für die folgenden Funktionenfolgen (f_{n})_{n≥1} auf ℝ die Beziehung

\frac{d}{dx} ( lim_{n→∞} f_{n}(x)) = lim_{n→∞} (\frac{d}{dx}f_{n}(x)) :

i) f_{n}(x) = \frac{sin(n^{2}x)}{n} ,  ii) f_{n}(x) = ∑_{k=1}^{n} \frac{sin(k^{4}x)}{k^{2}} ,  iii) f_{n}(x) = \frac{cos(n^{2}x)}{n^{3}} .

Aufgabe 4 (2): Gegeben sei die Dirichletsche Sprungfunktion

D : [0; 1] → ℝ, x ↦ \begin{cases}1 & für x ∈ ℚ, \\ 0 & für x ∉ ℚ, \end{cases}

und eine Abzählung der rationalen Zahlen (q_{j})_{j≥1}. Man untersuche die Funktionenfolge

f_{n}(x) := \begin{cases}1 & x ∈ \{q_{j}|j = 1, … n\}, \\ 0 & sonst, \end{cases}

auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz. Hinweis: Die Abgabe der Übung wird noch bis zum Freitag, den 19.05.2000, 12 Uhr akzeptiert.