Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 05. Mai 2000

Prof. Dr. A. Krieg, H. Hassenpflug, A. Marschner

5. Übung zur Analysis II

Abgabe: Freitag, 12.05.2000, 11.45 Uhr

Aufgabe 1 (1+2+2+2+1): Untersuchen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale auf Konvergenz bzw. Divergenz:

a) ∫_{1}^{7} \frac{1}{(5 − x)^{3}} dx,

b) ∫_{0}^{1} log (\frac{1}{1 − x}) dx,

c) ∫_{0}^{2} \frac{cos(1/x)}{x^{8/7}}dx,

d) ∫_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x − x^{2}}} dx,

e) ∫_{0}^{5} \frac{x}{\sqrt{e^{2x} − 1}}dx.

Aufgabe 2 (2+1+4+2+2): Wir möchten Ihnen in dieser Aufgabe eine Methode zeigen, wie man Γ(1/2) ausrechnen kann. Dazu definiert man für s, t > 0 folgende Funktion

B(s, t) := ∫_{0}^{1} x^{s−1} (1 − x)^{t−1} dx.

Sie wird Beta-funktion genannt. In der Literatur findet man für das Integral auch die Bezeichnung ”erstes Eulersches Integral”. Zeigen Sie folgende Punkte:

a) Die Funktion ist wohldefiniert.

b) B(s, t) = B(t, s).

c) B(s, t) = \frac{Γ(s)Γ(t)}{Γ(s + t)}.

d) Berechnen Sie nun Γ(1/2) und Γ(3/2).

e) Welche Funktion wird durch das uneigentliche Integral

∫_{0}^{1} | log x|^{t}dx, t > 0,

dargestellt.

Hinweis: Betrachten Sie bei Teil c) dabei für festes s die Funktion B(s, t)Γ(s + t) und benutzen Sie den Satz von Bohr.

Aufgabe 3 (3): Man beweise die Legendre’sche Verdopplungsformel:

Γ (\frac{x}{2}) Γ (\frac{x + 1}{2}) = 2^{1−x}\sqrt{π}Γ(x), x > 0.

Aufgabe 4 (*4): Eine Rakete fliege längs der x-Achse. Zur Zeit t = 0 befinde sich die Rakete in der Position x(0) = 0, habe die Startmasse m(0) = m_{0} und die Anfangsgeschwindigkeit ẋ(0) = v(0) = 0. Der Treibstoff habe die Menge l < m_{0}. Die Ausströmungsgeschwindigkeit u der Gase sei konstant gleich -c. Die Verbrennungsrate sei bis zur Brenndauer (aller Brennstoff ist verbrannt) t = T ebenfalls konstant gleich α. Die Grundgleichung der Raketenbewegung ist

mẍ = ṁu + F,

wobei F die äusseren Kräfte, also vereinfachter Weise hier nur die Kraft F (t) = −m(t)g beschreibt. Welche Höhe hat die Rakete zur Zeit T? Bestimmen Sie die dafür die Brenndauer. Welche Geschwindigkeit hat sie dann erreicht? Wie ist die Geschwindigkeit zur Zeit t = 2T? Dabei bedeutet der Punkt über einer Variablen deren zeitliche Ableitung.