Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 28. April 2000

Prof. Dr. A. Krieg, H. Hassenpflug, A. Marschner

4. Übung zur Analysis II

Abgabe: Freitag, 05.05.2000, 11.45 Uhr

Aufgabe 1 (4 Punkte): Skizzieren Sie die durch die y-Achse und die Funktionen

y_{0}(x) = x + 1 , y_{1}(x) = x^{2} , y_{2}(x) = \frac{1}{2} − x^{2} (x ≥ 0)

begrenzte Fläche und bestimmen Sie ihren Flächeninhalt. Aufgabe 2 (2+2 Punkte): Gegeben sei eine Funktion f : ℝ → ℝ. Zeigen Sie:

a) Ist f uneigentlich Riemann-integrierbar, so gilt

lim_{a→∞} ∫_{−a}^{a} f(x) dx = ∫_{−∞}^{∞} f(x) dx .

b) Existiert der Limes

lim_{a→∞} ∫_{−a}^{a} f(x) dx ,

so muss f nicht uneigentlich Riemann-integrierbar sein.

Aufgabe 3 (2+4+2 Punkte):

a) Sei f : (a; b] → ℝ stetig und es existiere lim_{x↓a} f(x). Zeigen Sie, dass f über (a; b] uneigentlich Riemann-integrierbar ist.

b) Sei f : (a; ∞) → ℝ stetig und es existiere lim_{x↓a} f(x). Zeigen Sie, dass f über (a; ∞) genau dann uneigentlich Riemann-integrierbar ist, wenn für alle ε > 0 ein x_{0} ∈ ℝ existiert so,

dass |∫_{x_{1}}^{x_{2}}f(x) dx| < ε für alle x_{2} > x_{1} > x_{0} gilt.

c) Beweisen Sie die Existenz von

∫_{0}^{∞} \frac{sin x}{x} dx .

Aufgabe 4 (2+2+2+2 Punkte):

a) Untersuchen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale auf Konvergenz:

i) ∫_{−∞}^{∞} e^{−2 |x|} dx ,

ii) ∫_{−∞}^{0} \frac{x}{x^{2} + x + 1} dx ,

iii) ∫_{1}^{∞} \frac{cos x}{x} dx .

b) Zeigen Sie: ∫_{2}^{∞} \frac{1}{x (log x)^{α}} dx konvergiert genau dann, wenn α > 1 ist.

Aufgabe 5 (* 3+2+1 Sonderpunkte): Wirtschaftswissenschaftler erfassen den “Zustand” eines Unternehmens gerne quantitativ, beschreiben also ein Unternehmen durch ein Tupel von Zahlen bzw. Funktionen, wie z. B. Umsatz oder Gewinn in Abhängigkeit von der Produktion. Diese Größen hängen teilweise zusammen, so ist Gewinn = Umsatz − Kosten. Natürlich ist für ein Unternehmen interessant, ob sich der Gewinn vergrößert, wenn die Produktion erhöht wird. Mathematisch modelliert bedeutet diese Frage (lokal), ob die Ableitung der Gewinnfunktion bei der aktuellen Produktionsmenge positiv ist. Zur Unterscheidung der Gewinnfunktion von ihrer Ableitung nennen Wirtschaftswissenschaftler die Gewinnfunktion auch Gesamtgewinn und deren Ableitung Grenzgewinn. Diese Bezeichnungsweise gilt für alle oben angesprochen Parameter, also Kosten, Umsatz, ….

a) Gegeben seien eine Grenzkostenfunktion K̃ = 3 x^{2} −8 x+8 und eine Grenzumsatzfunktion Ũ = 12 − 4 x. Berechnen sie daraus so genau wie möglich:

i) die Gesamtkostenfunktion

ii) die Durchschnittskostenfunktion^{1}

iii) die Gesamtumsatzfunktion

iv) die Durchschnittsumsatzfunktion

v) die Gesamtgewinnfunktion

vi) die gewinnmaximale Menge

b) Ein Unternehmen produziert 3000 Fahrräder am Tag. Die Grenzproduktivität für zusätzlich eingesetzte Arbeitskräfte beträgt x̃ = 75 − \sqrt{r}. Wieviele Fahrräder können produziert werden, wenn 10 zusätzliche Arbeitskräfte eingesetzt werden?

c) Die Fläche unterhalb der Grenzumsatzkurve zwischen x = 0 und x = x_{0} gibt den Gesamtumsatz an der Stelle x = x_{0} an. Warum gilt dasselbe nicht bei der Kostenfunktion?

1In wirtschaftspolitischen Debatten werden die Durchschnittskosten auch als Stückkosten bezeichnet.